Bewijs stelling Smirnov-Nagata

Beste professor Hart,

Ik was aan het lezen over metriseerbaarheid en de stelling van Smirnov-Nagata en heel toevallig vond ik online een pdf-bestand waarin u deze stelling bewijst: https://fa.ewi.tudelft.nl/~hart/37/onderwijs/topologie/dictaat-vu-2002.pdf (dit is in hoofdstuk 9, stelling 9.16).

Ik heb 2 vragen hierbij:

1)In de opgave zegt u X is metriseerbaar als en slechts als X regulier is met een σ-lokaal eindige basis. Maar dan in het bewijs veronderstelt u dat X een T3-ruimte is dus regulier+T1 met een σ-lokaal eindige basis. Moest er in de opgave T3 staan?

2)Op het einde van het bewijs zegt u zij A gesloten en x niet in A, dan bestaan er B,W zodanig x $\in $ B $\subseteq $ sluiting(B) $\subseteq $ W $\subseteq $ X\A, waarom kunnen we zulke B,W vinden?

Alvast bedankt.

Student universiteit België - vrijdag 16 februari 2024

Antwoord

1) Zie pagina 37, in definitie 5.14 spreken we af dat regulier gelijk is aan $T_3+T_1$.
2) Zie ook pagina 37, Propositie 5.17: de $W$ is er omdat $\mathcal{B}$ een basis is en dan levert propositie 5.17 de kleinere $B$ (eerst een $V$ en dan weer een $B\in\mathcal{B}$).

kphart
vrijdag 16 februari 2024

©2004-2024 WisFaq