Abstracte algebra

Beste,
Misschien dat iemand mij hiermee kan helpen. Ik neem de vraag letterlijk over.

Laat $(G, \circ )$ een groep zijn met een element x waarvoor geldt dat $ x \circ y \circ x = y^3 $ voor alle y in G

Bewijs dat $ x^2 = Id $ en $ y^8 = Id $ voor alle y in G

- Ik begrijp de vraag niet zo goed en het bewijs dus al helemaal niet, maar mijn eerste gedachte is toch dat het id uniek is, en in de vraag staat toch dat dit niet is? Ik begrijp het in ieder geval niet, dus al iemand mij wil helpen graag!

Dennis
Beantwoorder - maandag 30 juni 2014

Antwoord

$G$ is een groep en heeft dus, inderdaad, één neutraal element $\mathrm{Id}$. Wat je moet bewijzen is dat voor de gegeven speciale $x$ het kwadraat gelijk is aan $\mathrm{Id}$, ofwel dat $x$ zijn eigen inverse is.
Vul een handige $y$ in, $y=x^2$: dan volgt $x^4=x^6$ en dus $x^2=\mathrm{Id}$.
Voor een willekeurige $y$ hebben we $x\circ y\circ x=y^3$ en dus ook $y=x\circ y^3\circ x$ (vermenigvuldig voor en achter met $x$. Pas het gegeven toe op $y^3$: $xy^3x=y^9$, en dus $y=y^9$.

kphart
dinsdag 1 juli 2014

Re: Abstracte algebra

©2001-2024 WisFaq