\require{AMSmath}

Afleiden van de somregel van sinus

Hoe kan ik van de regel sin (a+b)= sin a·cos b+ cos a·sin b de formules sin(2a) en sin(a/2) afleiden. Alvast bedankt, roeten

Philip
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 25 mei 2003

Antwoord

Hoi,

Formule afleiden voor sin(\alpha+\beta) = sin\alpha·cos\beta + cos\alpha·sin\beta

Beschouw onderstaande rechthoek



P en Q zijn zo gekozen dat \angleAQP = 90° en AP = 1.

\anglePQC = \alpha, want \angleBQA = 90° - \alpha en \angleBQC = 180° (gestrekte hoek) \Rightarrow \anglePQC = 180°-\angleBQA - \angleAQP = 180° - (90° - \alpha) - 90° = \alpha.

\angleAPD = \alpha+\beta, dat zou je kunnen bewijzen a.d.h.v. een Z-hoek, want AB // DC \Rightarrow \angleBAP = \angleDPA (je zou 't ook anders kunnen aanpakken: \angleADP = 90°, \angleDAP = 90° - (\alpha+\beta) \Rightarrow \angle DPA = 180° - 90° - (90° - (\alpha+\beta)) = \alpha+\beta.

Nu gaan we 'n schema invullen (hou rekening met AP = 1)!



In de rechthoek geldt dat AD = BQ + QC. A.d.h.v. de tabel kunnen we laten zien dat sin(\alpha+\beta) = AQ·sin\alpha+PQ·cos\alpha, want sin\alpha=^BQ/_AQ en cos\alpha=^CQ/_PQ en sin(\alpha+\beta) = AD.

Invullen levert: AD = AQ·^BQ/_AQ + PQ·^CQ/_PQ \Rightarrow AD = BQ + CQ.

We kunnen die AQ en PQ ook vervangen. Krijgen we sin(\alpha+\beta) = cos\beta·sin\alpha + sin\beta·cos\alpha en aangezien bij de vermenigvuldiging de factoren van plaats mogen ruilen (want 4·3 = 3·4 bijvoorbeeld) mogen we ook schrijven sin(\alpha+\beta) = sin\alpha·cos\beta+cos\alpha·sin\beta.

Om de regel van cos(\alpha + \beta) te bewijzen kun je gebruikmaken van het feit dat PD = AB - PC, en op analoge wijze krijg je dat cos(\alpha+\beta) = cos\alpha·cos\beta - sin\alpha·sin\beta (we noemen deze formules de somformules)

Je kunt nu ook op de verschilformules hieruit afleiden, maar dan moet je wel weten dat cos(-t) = cos(t), sin(-t) = -sin(t).

Formule afleiden voor sin(2\alpha)

sin(2\alpha) = sin(\alpha+\alpha). Dus gewoon \beta vervangen door \alpha in bovenstaande formule.

sin(\alpha+\alpha) = sin\alpha·cos\alpha + sin\alpha·cos\alpha = 2sin\alpha·cos\alpha.

cos(2\alpha) gaat analoog, je krijgt cos²\alpha - sin²\alpha als uitkomst.

Formule afleiden van sin(¹/₂\alpha)

Vervang in bovenstaande formule \alpha door ¹/₄\alpha.

sin(2·¹/₄\alpha) = 2sin(¹/₄\alpha)·cos(¹/₄\alpha)

Ik hoop dat het zo wat duidelijker is geworden, zo niet dan hoor ik het wel,

Groetjes,

Davy.

Zie Meer informatie...

Davy
zondag 25 mei 2003

Re: Afleiden van de somregel van sinus

©2001-2025 WisFaq