WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Testen in grote samples

Beste

We hebben een random sample X_1, \ldots, X_{n} van een normale distributie met verwachte waarde 1, en variantie \sigma^{2} > 0. Ook is gegeven dat E[(X_{i} - 1)^{4}] = 3\sigma^{4}. We bekijken de null hypothese H_{0}: \sigma = 2.

Voor grote n, wordt de gegeven null hypothese afgewezen als \sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}\lt a_{n}\Phi^{-1}(\alpha)+b_{n}, waarbij \Phi^{-1} de inverse van de standaard normale distributie functie is. Bepaal a_{n} en b_{n}.

Wat voor mij duidelijk is, is dat de CLT gebruikt moet worden. Maar om hier te komen, moet ik dus de verwachte waarde en de standaard deviatie berekenen van \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - 1)^{2} (onder H_{0}). Want dan geldt Z \sim N(0,1) en krijg ik het omgezet naar de gevraagde vorm. Ik heb wat gespeeld met het feit dat E[X^{2}] = Var(X) + [E \overline x ]^{2} maar dit mocht ook niet baten.

Volgens het antwoord moet ik uitkomen op a_{n} = 4\sqrt{2n} en b_{n} = 4n. Ik hoop dat het zo een beetje duidelijk is en waar ik tegenaanloop. Mochten jullie nog wat cruciaals missen laat maar weten. Heel erg bedankt alvast!
Rick
Student universiteit - vrijdag 29 december 2023

Antwoord

Het gaat dus om de verwachting en variantie van (X-1)^2 als X zelf N(1,\sigma^2) verdeeld is.

De verwachting van (X-1)^2 is dan de variantie van X zelf.

De variantie van (X-1)^2 krijg je uit de formule waar je mee "gespeeld" hebt, maar dan wel toegepast op (X-1)^2:
\mathrm{Var}\bigl((X-1)^2\bigr)=E[(X-1)^4]-E[(X-1)^2]^2
en beide termen rechts heb je al.

Daarna: de verwachting van de som \sum_{i=1}^n(X_i-1)^2 is de som van de verwachtingen, en, aangenomen dat de X_i onafhankelijk zijn: de variantie van de som is de som van de varianties.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 29 december 2023