Testen in grote samples

Beste

We hebben een random sample $X_1$, $\ldots$, $X_{n}$ van een normale distributie met verwachte waarde 1, en variantie $\sigma^{2} > 0$. Ook is gegeven dat $E[(X_{i} - 1)^{4}] = 3\sigma^{4}$. We bekijken de null hypothese $H_{0}: \sigma = 2$.

Voor grote $n$, wordt de gegeven null hypothese afgewezen als $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}\lt a_{n}\Phi^{-1}(\alpha)+b_{n}$, waarbij $\Phi^{-1}$ de inverse van de standaard normale distributie functie is. Bepaal $ a_{n}$ en $ b_{n}$.

Wat voor mij duidelijk is, is dat de CLT gebruikt moet worden. Maar om hier te komen, moet ik dus de verwachte waarde en de standaard deviatie berekenen van $\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - 1)^{2}$ (onder $H_{0}$). Want dan geldt $Z \sim N(0,1)$ en krijg ik het omgezet naar de gevraagde vorm. Ik heb wat gespeeld met het feit dat $E[X^{2}] = Var(X) + [E \overline x ]^{2}$ maar dit mocht ook niet baten.

Volgens het antwoord moet ik uitkomen op $a_{n} = 4\sqrt{2n}$ en $b_{n} = 4n$. Ik hoop dat het zo een beetje duidelijk is en waar ik tegenaanloop. Mochten jullie nog wat cruciaals missen laat maar weten. Heel erg bedankt alvast!

Rick
Student universiteit - vrijdag 29 december 2023

Antwoord

Het gaat dus om de verwachting en variantie van $(X-1)^2$ als $X$ zelf $N(1,\sigma^2)$ verdeeld is.

De verwachting van $(X-1)^2$ is dan de variantie van $X$ zelf.

De variantie van $(X-1)^2$ krijg je uit de formule waar je mee "gespeeld" hebt, maar dan wel toegepast op $(X-1)^2$:
$$\mathrm{Var}\bigl((X-1)^2\bigr)=E[(X-1)^4]-E[(X-1)^2]^2
$$en beide termen rechts heb je al.

Daarna: de verwachting van de som $\sum_{i=1}^n(X_i-1)^2$ is de som van de verwachtingen, en, aangenomen dat de $X_i$ onafhankelijk zijn: de variantie van de som is de som van de varianties.

kphart
vrijdag 29 december 2023

©2001-2024 WisFaq