De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

OriŽntatie rand van variŽteit

Beste

Enkele definities:
1)Stel X bevat in een zekere Euclidische ruimte, dan is X een k-dim. variŽteit als voor elke x in X bestaat er een omgeving V van x in X en f:U- $>$ V een diffeomorfisme met U open in Rk.

2)X noemen we een oriŽnterbare variŽiteit als voor elke x in X een locale parametrisatie f:U- $>$ X met U open in Rk zodat df_u:Rk- $>$ Tx(X) de oriŽntatie tussen de vectorruimtes behoudt voor elke u in U. Waarbij de oriŽntatie op Rk de standaard oriŽntatie is.

Mijn vraag: Nu wil ik de rand van een oriŽnteerbare variŽteit X oriŽnteren. Ik dacht om de inclusie i:Tx(rand(X))- $>$ Tx(X) te beschouwen en rand(X) oriŽnteerbaar te noemen indien de samenstelling van (df_u)-1oi:Tx(rand(X))- $>$ Rk de oriŽntatie van de vectorruimtes behoudt. Klopt deze aanpak? Ik zie wel niet in of deze aanpak onafhankelijk is van keuze van parametrisatie.

Rafik
Student universiteit BelgiŽ - zondag 30 april 2023

Antwoord

Deel 2) van je definitie is onvolledig: er staat niet bij wat de oriŽntatie van de $T_x(X)$ is, die moet je al hebben voor je over behouden van oriŽntatie kunt spreken. Ook staat er in je definitie geen opmerking over de relatie tussen die locale parametriseringen.
Merk op dat een lokale parametrisering een oriŽntatie van de $T_x(X)$ voor $x\in V$ bepaalt door te zeggen dat het beeld van de standaardbasis in $\mathbb{R}^k$ positief is. Een variŽteit is oriŽnteerbaar als je de parametriseringen zo kunt nemen dat: als $f_1:U_1\to V_1$ en $f_2:U_2\to V_2$ zo zijn dat $V_1\cap V_2\neq\emptyset$ dan geven $f_1$ en $f_2$ dezelfde oriŽntatie aan $T_x(X)$ als $x\in V_1\cap V_2$. Dat kun je in termen van de afgeleiden formuleren als: als $f_1(u_1)=x=f_2(u_2)$ dan is de determinant van $(df_2(u_2))^{-1}(df_1(u_1))$ positief.

In je vraag: je kunt nu niet de rand oriŽnteerbaar gaan noemen als een gegeven familie parametriseringen iets doet; je kunt nu alleen nog controleren of de rand oriŽnteerbaar is en of dat met behulp van de gegeven parametriseringen kan. Wat je doet is naar de parametriseringen uit je familie die een randpunt meenemen. Je hebt $x\in\partial X$ en $f:U\to V$, waarbij $U$ nu een stukje half-ruimte is, dat wil zeggen een deel van $H=\{x\in\mathbb{R}^k:x_k\ge0\}$. Dan levert $x\mapsto (x,0)\mapsto f(x,0)$ een parametrisering van $V\cap\partial X$. De zoverkregen parametriseringen moeten aan de eisen voldoen.

Overigens zou dit soort zaken netjes in je boek (of op college) uitgelegd moeten worden.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 2 mei 2023
 Re: OriŽntatie rand van variŽteit 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3