WisFaq!

Oriëntatie rand van variëteit

Beste

Enkele definities:
1)Stel X bevat in een zekere Euclidische ruimte, dan is X een k-dim. variëteit als voor elke x in X bestaat er een omgeving V van x in X en f:U- $>$ V een diffeomorfisme met U open in R^k.

2)X noemen we een oriënterbare variëiteit als voor elke x in X een locale parametrisatie f:U- $>$ X met U open in R^k zodat df_u:R^k- $>$ T_x(X) de oriëntatie tussen de vectorruimtes behoudt voor elke u in U. Waarbij de oriëntatie op R^k de standaard oriëntatie is.

Mijn vraag: Nu wil ik de rand van een oriënteerbare variëteit X oriënteren. Ik dacht om de inclusie i:T_x(rand(X))- $>$ T_x(X) te beschouwen en rand(X) oriënteerbaar te noemen indien de samenstelling van (df_u)^-1oi:T_x(rand(X))- $>$ R^k de oriëntatie van de vectorruimtes behoudt. Klopt deze aanpak? Ik zie wel niet in of deze aanpak onafhankelijk is van keuze van parametrisatie.

Rafik
30-4-2023

Antwoord

Deel 2) van je definitie is onvolledig: er staat niet bij wat de oriëntatie van de $T_x(X)$ is, die moet je al hebben voor je over behouden van oriëntatie kunt spreken. Ook staat er in je definitie geen opmerking over de relatie tussen die locale parametriseringen.
Merk op dat een lokale parametrisering een oriëntatie van de $T_x(X)$ voor $x\in V$ bepaalt door te zeggen dat het beeld van de standaardbasis in $\mathbb{R}^k$ positief is. Een variëteit is oriënteerbaar als je de parametriseringen zo kunt nemen dat: als $f_1:U_1\to V_1$ en $f_2:U_2\to V_2$ zo zijn dat $V_1\cap V_2\neq\emptyset$ dan geven $f_1$ en $f_2$ dezelfde oriëntatie aan $T_x(X)$ als $x\in V_1\cap V_2$. Dat kun je in termen van de afgeleiden formuleren als: als $f_1(u_1)=x=f_2(u_2)$ dan is de determinant van $(df_2(u_2))^{-1}(df_1(u_1))$ positief.

In je vraag: je kunt nu niet de rand oriënteerbaar gaan noemen als een gegeven familie parametriseringen iets doet; je kunt nu alleen nog controleren of de rand oriënteerbaar is en of dat met behulp van de gegeven parametriseringen kan. Wat je doet is naar de parametriseringen uit je familie die een randpunt meenemen. Je hebt $x\in\partial X$ en $f:U\to V$, waarbij $U$ nu een stukje half-ruimte is, dat wil zeggen een deel van $H=\{x\in\mathbb{R}^k:x_k\ge0\}$. Dan levert $x\mapsto (x,0)\mapsto f(x,0)$ een parametrisering van $V\cap\partial X$. De zoverkregen parametriseringen moeten aan de eisen voldoen.

Overigens zou dit soort zaken netjes in je boek (of op college) uitgelegd moeten worden.

kphart
2-5-2023