WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Grenzen na substitutie

Stel ik wil de integraal berekenen van -1 tot 1 van sqrt(1-x²)dx

Ik kies voor x=cos(t) als substitutie en los hem op zoals ik het geleerd heb, bereken ik de nieuwe grenzen voor t.

Als cos(t)=-1 dan moet t dus pi zijn (of k·2\pi erbij)

En als cos(t)=1 dan geldt t=0 (of plus k·2\pi.

Nu heb ik twee vragen,
1) de grenzen van de integraal lopen nu van pi tot 0, dat gaat tegen mijn gevoel in; het lijkt verkeerd om.

2) waarom kan ik niet meerdere keren 2\pi bij de grenzen optellen? Hoe weet ik welke ik moet hebben?
KS
Student universiteit - vrijdag 10 februari 2023

Antwoord

1. Daar is niets mis mee; per definite is \int_b^a, als a kleiner is dan b, gelijk aan -\int_a^b. Dat komt overeen met de interpretatie van \int_a^b v(t)\,\mathrm{d}t als afgelegde weg, wanneer v de snelheidsfunctie is. Dan is \int_b^av(t)\,\mathrm{d}t dezelfde weg, maar dan achteruit. Zo kun je ook makkelijk integralen over intervallen optellen en aftrekken.

2. Het maakt in principe niet uit, als \cos t maar strikt stijgend (of strikt dalend) op het interval is. Je kunt dus [0,\pi] nemen, of [-\pi,0], of een opgeschoven versie (over een aantal malen 2\pi) van zo'n interval. Het interval [0,\pi] is het meestgebruikt, als domein van de \arccos-functie.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 11 februari 2023

Re: Grenzen na substitutie