Grenzen na substitutie

Stel ik wil de integraal berekenen van -1 tot 1 van sqrt(1-x²)dx

Ik kies voor x=cos(t) als substitutie en los hem op zoals ik het geleerd heb, bereken ik de nieuwe grenzen voor t.

Als cos(t)=-1 dan moet t dus pi zijn (of k·2$\pi$ erbij)

En als cos(t)=1 dan geldt t=0 (of plus k·2$\pi$.

Nu heb ik twee vragen,
1) de grenzen van de integraal lopen nu van pi tot 0, dat gaat tegen mijn gevoel in; het lijkt verkeerd om.

2) waarom kan ik niet meerdere keren 2$\pi$ bij de grenzen optellen? Hoe weet ik welke ik moet hebben?

KS
Student universiteit - vrijdag 10 februari 2023

Antwoord

1. Daar is niets mis mee; per definite is $\int_b^a$, als $a$ kleiner is dan $b$, gelijk aan $-\int_a^b$. Dat komt overeen met de interpretatie van $\int_a^b v(t)\,\mathrm{d}t$ als afgelegde weg, wanneer $v$ de snelheidsfunctie is. Dan is $\int_b^av(t)\,\mathrm{d}t$ dezelfde weg, maar dan achteruit. Zo kun je ook makkelijk integralen over intervallen optellen en aftrekken.

2. Het maakt in principe niet uit, als $\cos t$ maar strikt stijgend (of strikt dalend) op het interval is. Je kunt dus $[0,\pi]$ nemen, of $[-\pi,0]$, of een opgeschoven versie (over een aantal malen $2\pi$) van zo'n interval. Het interval $[0,\pi]$ is het meestgebruikt, als domein van de $\arccos$-functie.

kphart
zaterdag 11 februari 2023

Re: Grenzen na substitutie

©2001-2024 WisFaq