WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vraagstuk DV opstellen

Ik zit met een vraagstuk waarvan ik de differentiaal vergelijking niet opgesteld krijg.

Op tijdstip t=0 bevat een tank 8liter water waarin 32gram chemisch product is opgelost.Er stroomt 2gram per liter binnen tegen een constante snelheid van 4 liter per seconde. De oplossing blijft homogeen doordat ze goed gemengd wordt. De mengeling stroomt uit het vat tegen een snelheid van 2 liter per minuut. Stel de differentiaal vergelijking op in de veranderlijke m (massa) en de tijd.

Ik zit vast met die DV op te stellen
Als ik de massa chemisch product voorstel als m(t)
en massa verandering= massa in - massa uit
massa in= 4l/min· 2gr
massa uit= 2l/min· m(t)

Klopt het dan als ik zeg dat: d(m)/d(t)= 4·2- 2m(t) ?
Zoja, hoe moet ik dit dan verder uitwerken?
Jansse
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 11 juni 2011

Antwoord

De moeilijkheid bij deze opgave zit 'em in het feit dat het volume niet constant is (er stroomt immers per sec meer IN dan dat er UIT stroomt) en dus is de concentratie van de stof ook niet constant.

We moeten -denk ik- 3 dingen in de gaten houden, die een rol spelen in deze opgave. Alledrie de zaken veranderen met de tijd:
a. het Volume van het mengsel V(t) (bijv. in liters)
b. de concentratie van de chemische stof r(t) (bijv in g/l)
c. de netto massa van de chemische stof in het vat. m(t)
En op ieder moment geldt: m(t)=r(t).V(t)

Verder schrijf jij dat de uitstroom 2 l/minuut is. Klopt dat? Of moet dat misschien 2 l/s zijn? Laten we van dat laatste geval uitgaan.

a. Het volume. Dat is na een tijd dt veranderd: er komt 4.dt BIJ en gaat 2.dt AF
dV = +4.dt -2.dt = 2.dt Û dV/dt = 2 (l/s)
Dus V(t)=V₀+2.t = 8+2.t

b. de massa van de chemische stof. Er komt BIJ: 4 l/s maal 2 g/l, en omdat er 2 l/s UITstroomt hangt de massa die uitstroomt af van de concentratie op dàt moment:
dm = 2.4.dt - r(t).2.dt Û dm/dt = 8 - 2.r(t)

Omdat op ieder moment geldt voor de concentratie dat
r=m/V kunnen we schrijven voor de massa:

dm/dt = 8 - 2.(m/8+2.t) Û dm/dt + (2/(8+2.t)).m = 8

Dit is een DV van de vorm y'(x) + p(x).y(x) = q(x)
en daar is een bepaalde oplossingsmethode voor, die vind je hier:
show3archive.asp?id=47415&j=2006
en hier is nòg een voorbeeldje:
show3archive.asp?id=47858&j=2006

Zou het zó verder weer zelf lukken?

groeten,

martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 11 juni 2011

Re: Vraagstuk DV opstellen