WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren van even en oneven functies

Dag beste,

Ik moet de volgende formules aantonen.

Je weet dat f(t) een even functie is. Daardoor weet je ook dat f(t) ·cos (n$\omega$t) even is, en f(t) · sin(n$\omega$t) oneven is.

1 ) B0 = (2/T) · $\int{}$ f(t)dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = (4/T) · $\int{}$ f(t)dt ( T/2 boven en 0 onder )

2 ) An = (2/T) · $\int{}$ (f(t) · sin (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = 0

3 ) Bn = (2/T) · $\int{}$ (f(t) · cos (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = (4/T) · $\int{}$ (f(t) · cos (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en 0 onderaan )

Alvast bedankt.
Bart
Overige TSO-BSO - vrijdag 17 november 2006

Antwoord

Hallo,

Je merkt terecht op wat de even en wat de oneven functies zijn. Je hebt ook telkens een integraal over het interval [-T/2, T/2]. Bij een even functie (bv cos(t), of voor jou f(t)·cos(n$\omega$t)) is die integraal gelijk aan twee keer de integraal van 0 to T/2. Dat merk je meteen als je een figuur maakt. Als je het wil aantonen, hier het algemene bewijs:

f(x) is een even functie, dus f(-x)=f(x).
$\int{}$_-a^a f(x)dx = $\int{}$_-a⁰ f(x)dx + $\int{}$₀^a f(x)dx
= $\int{}$_a⁰ f(-x)d(-x) + $\int{}$₀^a f(x)dx (eerste integraal: substitutie doorgevoerd)
= $\int{}$₀^a f(-x)dx + $\int{}$₀^a f(x)dx (eerste integraal: grenzen omwisselen geeft minteken, twee keer min is plus)
= $\int{}$₀^a f(x)dx + $\int{}$₀^a f(x)dx
= 2 · $\int{}$₀^a f(x)dx

Voor een oneven functie krijg je net hetzelfde, behalve dat je dan f(-x) moet vervangen door -f(x), zodat je weer twee dezelfde termen krijgt, maar nu met een tegengesteld teken, wat dus nul geeft.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 18 november 2006