Je weet dat f(t) een even functie is. Daardoor weet je ook dat f(t) ·cos (n$\omega$t) even is, en f(t) · sin(n$\omega$t) oneven is.
1 ) B0 = (2/T) · $\int{}$ f(t)dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = (4/T) · $\int{}$ f(t)dt ( T/2 boven en 0 onder )
2 ) An = (2/T) · $\int{}$ (f(t) · sin (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = 0
3 ) Bn = (2/T) · $\int{}$ (f(t) · cos (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en -T/2 onderaan ) = (4/T) · $\int{}$ (f(t) · cos (n$\omega$t) )dt ( T/2 boven en 0 onderaan )
Alvast bedankt.
Bart
Overige TSO-BSO - vrijdag 17 november 2006
Antwoord
Hallo,
Je merkt terecht op wat de even en wat de oneven functies zijn. Je hebt ook telkens een integraal over het interval [-T/2, T/2]. Bij een even functie (bv cos(t), of voor jou f(t)·cos(n$\omega$t)) is die integraal gelijk aan twee keer de integraal van 0 to T/2. Dat merk je meteen als je een figuur maakt. Als je het wil aantonen, hier het algemene bewijs:
f(x) is een even functie, dus f(-x)=f(x). $\int{}$-aa f(x)dx = $\int{}$-a0 f(x)dx + $\int{}$0a f(x)dx = $\int{}$a0 f(-x)d(-x) + $\int{}$0a f(x)dx (eerste integraal: substitutie doorgevoerd) = $\int{}$0a f(-x)dx + $\int{}$0a f(x)dx (eerste integraal: grenzen omwisselen geeft minteken, twee keer min is plus) = $\int{}$0a f(x)dx + $\int{}$0a f(x)dx = 2 · $\int{}$0a f(x)dx
Voor een oneven functie krijg je net hetzelfde, behalve dat je dan f(-x) moet vervangen door -f(x), zodat je weer twee dezelfde termen krijgt, maar nu met een tegengesteld teken, wat dus nul geeft.
