De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Lineaire Afbeelding R³ -> R³

Zij A een lineaire afbeelding waarvoor A(A) = 0 (Dus de samenstelling van A en A beeld zich af op de nulvector) en A is verschillend van 0.

Nu weet ik dat A(v) een element is van de Nulruimte, voor elke vector v in R3. Want A(A(v)) = 0.

Wat ik nu moet bewijzen is dat Ker(A) tweedimensionaal is. Hoe doe ik dit? Misschien met de dimensiestelling?
dim(R3) = dim(Ker(A)) + dim(Im(A))
Waarschijnlijk ligt de oplossing voor de hand maar ik zie het gewoon niet.

Michaë
Student universiteit België - vrijdag 22 juli 2005

Antwoord

Dag Michaël,

Ik heb het als volgt gedaan: Ker(A) heeft dimensie 0,1,2 of 3.
- 0 kan natuurlijk niet: dan zou het punt v (¹0) naar w (¹0) gestuurd worden, en w wordt dan naar x gestuurd (nog steeds ¹ 0), dat kan dus niet.
- 3 kan ook niet want dan zou A de nulafbeelding zijn.
- 1 is iets moeilijker. Stel dat de kern dimensie 1 heeft. Dat betekent dat A een rechte L door de oorsprong op 0 afbeeldt, en alle andere punten worden niet op nul afgebeeld. Bekijk dan nu een vlak a door de oorsprong dat L niet bevat. A zou dan 0 op 0 moeten afbeelden, en elk ander punt v van a moet worden afgebeeld op een punt w(¹0) van L (anders zou A(A(v)) niet nul zijn.) Kijk eens naar die afbeelding:
A: a®L: v®A(v).
Deze zou dus een nuldimensionale kern moeten hebben.
De dimensiestelling geeft je nu een strijdigheid.

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 23 juli 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3