WisFaq!

Lineaire Afbeelding R³ -> R³

Zij A een lineaire afbeelding waarvoor A(A) = 0 (Dus de samenstelling van A en A beeld zich af op de nulvector) en A is verschillend van 0.

Nu weet ik dat A(v) een element is van de Nulruimte, voor elke vector v in R³. Want A(A(v)) = 0.

Wat ik nu moet bewijzen is dat Ker(A) tweedimensionaal is. Hoe doe ik dit? Misschien met de dimensiestelling?
dim(R³) = dim(Ker(A)) + dim(Im(A))
Waarschijnlijk ligt de oplossing voor de hand maar ik zie het gewoon niet.

Michaėl Goossens
22-7-2005

Antwoord

Dag Michaėl,

Ik heb het als volgt gedaan: Ker(A) heeft dimensie 0,1,2 of 3.
- 0 kan natuurlijk niet: dan zou het punt v (¹0) naar w (¹0) gestuurd worden, en w wordt dan naar x gestuurd (nog steeds ¹ 0), dat kan dus niet.
- 3 kan ook niet want dan zou A de nulafbeelding zijn.
- 1 is iets moeilijker. Stel dat de kern dimensie 1 heeft. Dat betekent dat A een rechte L door de oorsprong op 0 afbeeldt, en alle andere punten worden niet op nul afgebeeld. Bekijk dan nu een vlak a door de oorsprong dat L niet bevat. A zou dan 0 op 0 moeten afbeelden, en elk ander punt v van a moet worden afgebeeld op een punt w(¹0) van L (anders zou A(A(v)) niet nul zijn.) Kijk eens naar die afbeelding:
A: a®L: v®A(v).
Deze zou dus een nuldimensionale kern moeten hebben.
De dimensiestelling geeft je nu een strijdigheid.

Groeten,
Christophe.

Christophe
23-7-2005