De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Twee_norm van een matrix

Bij mijn hoofdstuk over de euclidische vectorruimte gaat het over de p-norm van een matrix. In het algemeen over de gevallen p=1,2 of oneindig. Met p=2 heb ik een probleem. Er staat;
||A|| =   max  ||AX|| = maxÖ[lj]
||X||=1 j

In een voorbeeld geven ze de matrix

A = | 1 1 |
| 0 2 |

dan zou ||A|| = max {Ö(3+Ö5)} = Ö(3+Ö5)

Men gaat ook na dat met X = [ 1 2 ] transpose:
||AX|| = 5 =] ||A|| ||X|| = Ö5Ö(3+Ö5) = Ö(5+3Ö5)

Ik snap echt niet hoe men hier aan komt.
Bedankt

Isabel
Student universiteit België - maandag 10 januari 2005

Antwoord

Er bestaat een eigenschap die zegt dat de 2-norm van een matrix gelijk is aan het maximum van de wortels van de eigenwaarden van de matrix vermenigvuldigd met zijn getransponeerde.

Als we A*Transp(A) berekenen dan krijgen we:

/2 2\
\2 4/

De eigenwaarden hiervan zijn de oplossingen van de vergelijking:
determinant van:
 /2-x  2\
\2 4-x/
=0


dit geeft: x2-6x+4=0
of
x1=3+Ö5
x2=3-Ö5

Het maximum is dus x1=3+Ö5
Dus de 2-norm is Ö(3+Ö5)

Het tweede deel zegt dat
||AX||
||A||*||X||
(alle normen zijn hier 2-normen)
We controleren of dit voor het gegeven voorbeeld klopt:

Als je X=transp(1,2) neemt dan is
||X||=Ö5
AX=transp(3,4)
dus ||AX||=Ö(25)=5

Dus zou moeten:
5Ö(3+Ö5)*Ö5

en dat is waar.

PS: let wel goed op onderstaand onderscheid:

Die norm X gelijk aan 1 wordt gebruikt in de definitie van de matrixnorm.

||A||= max ||AX||
||x||=1
Je neemt dus het maximum van ||AX|| over alle vectoren X met norm gelijk aan 1.

Maar in de formule
||AX||||A|| ||X||
mag x gelijk welke vector zijn.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 11 januari 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3