WisFaq!

Twee_norm van een matrix

Bij mijn hoofdstuk over de euclidische vectorruimte gaat het over de p-norm van een matrix. In het algemeen over de gevallen p=1,2 of oneindig. Met p=2 heb ik een probleem. Er staat;

||A|| =   max  ||AX|| = maxÖ[lj]
        ||X||=1          j                

In een voorbeeld geven ze de matrix

 A = | 1 1 |
     | 0 2 |

dan zou ||A|| = max {Ö(3+Ö5)} = Ö(3+Ö5)

Men gaat ook na dat met X = [ 1 2 ] transpose:
||AX|| = 5 =] ||A|| ||X|| = Ö5Ö(3+Ö5) = Ö(5+3Ö5)

Ik snap echt niet hoe men hier aan komt.
Bedankt

Isabelle De Laet
10-1-2005

Antwoord

Er bestaat een eigenschap die zegt dat de 2-norm van een matrix gelijk is aan het maximum van de wortels van de eigenwaarden van de matrix vermenigvuldigd met zijn getransponeerde.

Als we A*Transp(A) berekenen dan krijgen we:

/2 2\
\2 4/
 

De eigenwaarden hiervan zijn de oplossingen van de vergelijking:
determinant van:

 /2-x  2\
\2  4-x/
=0

dit geeft: x²-6x+4=0
of
x1=3+Ö5
x2=3-Ö5

Het maximum is dus x1=3+Ö5
Dus de 2-norm is Ö(3+Ö5)

Het tweede deel zegt dat
||AX||
||A||*||X||
(alle normen zijn hier 2-normen)
We controleren of dit voor het gegeven voorbeeld klopt:

Als je X=transp(1,2) neemt dan is
||X||=Ö5
AX=transp(3,4)
dus ||AX||=Ö(25)=5

Dus zou moeten:
5Ö(3+Ö5)*Ö5

en dat is waar.

PS: let wel goed op onderstaand onderscheid:

Die norm X gelijk aan 1 wordt gebruikt in de definitie van de matrixnorm.

||A||=   max   ||AX||
      ||x||=1

Je neemt dus het maximum van ||AX|| over alle vectoren X met norm gelijk aan 1.

Maar in de formule
||AX||||A|| ||X||
mag x gelijk welke vector zijn.

km
11-1-2005