WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

De index van een ondergroep in Z^n

Hallo wisfaq,

Zij A in Z^3 (Z de gehele getallen) een ondergroep,

A={(x,y,z) in Z^3: 4x+y+3z=o(mod6)}

Een basis voor deze ondergroep wordt gegeven door,

A=Z*(3 0 0)(+)Z*(1 2 0)(+)Z*(1 -1 1)
((+) is een rondje met een +-teken erin, de vectoren zijn kolomvectoren)
Ik wil de index van A in Z^3 bepalen.Ik heb de volgende oplossing gelezen maar deze begrijp ik niet goed:

De index [Z^3:A]=#(Z^3/A)
Ik heb begrepen dat je op zoek moet gaan naar een surjectief homomorfisme f:Z^3-f[Z^3] waarvan A de kern is.
Ik begrijp niet waarom je dit moet doen.Ik denk dat je bij het oplossen van deze vraagstuk gebruik moet maken van de ismorfiestelling:
Zij f:R-R'een ringhomomorfisme met kern I. Dan is de afbeelding f':R/I-f een ringismorfisme.

Probeer f:Z^3-Z/6Z, f((x,y,z))=4x+y+3z(mod6)
Er geldt
f[(x,y,z)+(u,v,w)]=4(x+u)+(y+v)+3(z+w)(mod6)
=(4x+y+3z)+(4y+v+3w)(mod6)
=f((x,y,z))+f((u,v,w))
dus f is een homomorfisme.

Ker f={(x,y,z) in Z^3 : f((x,y,z))=o}
={(x,y,z) in Z^3 : 4z+y=3z=0(m0d6)=A
A is dus de kern van het hom.

f is surjectief want als y en restklassen in Z/6Z, dan is
(0,y+n*6,0) een geschikt origineel in Z^3.Dit begrijp ik niet goed.

Dus er geldt: Z^3/A is ismorf met Z/6Z (want?), en hieruit volgt dat [Z^3:A]=6.Want,

Voor een ondergroep A in Z^n die voortgebracht is door de kolommen van de matrix M=(c_ij), i,j=1 t/m n,geldt:
A is van eindige index in Z^n precies wanneer M niet-singulier is, en in dat geval is indez[Z^n:A]=|det(M)|.

Hier dus M=[(3 0 0),91 2 0),(1 -1 1)](kolomvectoren)

Vriendelijke groeten,
Viky
viky
Student hbo - woensdag 29 december 2004

Antwoord

Je hebt de antwoorden zelf al gegeven! De isomorfiestelling geeft je dat, in het algemeen, R/Ker(f) isomorf is met f en dus dat f net zoveel elementen heeft als index[R:Ker(f)].
In dit geval zal dan volgen dat index[Z³:A] net zo veel elementen heeft als Z/6Z en dat is 6.
Wat de surjectiviteit betreft: f(0,y,0)=y als y=0,1,2,3,4,5.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 januari 2005