Zij A in Z^3 (Z de gehele getallen) een ondergroep,
A={(x,y,z) in Z^3: 4x+y+3z=o(mod6)}
Een basis voor deze ondergroep wordt gegeven door,
A=Z*(3 0 0)(+)Z*(1 2 0)(+)Z*(1 -1 1) ((+) is een rondje met een +-teken erin, de vectoren zijn kolomvectoren) Ik wil de index van A in Z^3 bepalen.Ik heb de volgende oplossing gelezen maar deze begrijp ik niet goed:
De index [Z^3:A]=#(Z^3/A) Ik heb begrepen dat je op zoek moet gaan naar een surjectief homomorfisme f:Z^3-f[Z^3] waarvan A de kern is. Ik begrijp niet waarom je dit moet doen.Ik denk dat je bij het oplossen van deze vraagstuk gebruik moet maken van de ismorfiestelling: Zij f:R-R'een ringhomomorfisme met kern I. Dan is de afbeelding f':R/I-f een ringismorfisme.
Probeer f:Z^3-Z/6Z, f((x,y,z))=4x+y+3z(mod6) Er geldt f[(x,y,z)+(u,v,w)]=4(x+u)+(y+v)+3(z+w)(mod6) =(4x+y+3z)+(4y+v+3w)(mod6) =f((x,y,z))+f((u,v,w)) dus f is een homomorfisme.
Ker f={(x,y,z) in Z^3 : f((x,y,z))=o} ={(x,y,z) in Z^3 : 4z+y=3z=0(m0d6)=A A is dus de kern van het hom.
f is surjectief want als y en restklassen in Z/6Z, dan is (0,y+n*6,0) een geschikt origineel in Z^3.Dit begrijp ik niet goed.
Dus er geldt: Z^3/A is ismorf met Z/6Z (want?), en hieruit volgt dat [Z^3:A]=6.Want,
Voor een ondergroep A in Z^n die voortgebracht is door de kolommen van de matrix M=(c_ij), i,j=1 t/m n,geldt: A is van eindige index in Z^n precies wanneer M niet-singulier is, en in dat geval is indez[Z^n:A]=|det(M)|.
Hier dus M=[(3 0 0),91 2 0),(1 -1 1)](kolomvectoren)
Vriendelijke groeten, Viky
viky
Student hbo - woensdag 29 december 2004
Antwoord
Je hebt de antwoorden zelf al gegeven! De isomorfiestelling geeft je dat, in het algemeen, R/Ker(f) isomorf is met f en dus dat f net zoveel elementen heeft als index[R:Ker(f)]. In dit geval zal dan volgen dat index[Z3:A] net zo veel elementen heeft als Z/6Z en dat is 6. Wat de surjectiviteit betreft: f(0,y,0)=y als y=0,1,2,3,4,5.
f[Z^3] waarvan A de kern is. 
een ringismorfisme. 