WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Isomorfisme van R-modulen

Dit is een reactie op vraag 31600

Hallo kphart,

Ik heb met nog een soortgelijke opgave geoefend waarin ik moet bewijzen dat er R-moduulismorfisme is.Ik wilde vragen of het allemaal correct is en ik heb er nog enkele vragen over.

Zij M een R-moduul en f in End_R(M) een projectie, i.e. een R-homomorfisme f:M-M met f*f=f (i.p.v.* moet er eigenlijk een rondje staan).Ik wil bewijzen dat er een
R-isomorfisme M-Ker(f)(+)Im(f)(met hier een + met een rondje er omheen) is.
Ik heb zelf het volgende:
Ik moet een bijectief homomorfisme zoeken,

f:M-Ker(f)(+)Im(f)
x in M wordt gestuurd naar (u,v) in Ker(f)(+)Im(f)
x=u+v?
Is dit correct?

1.Ik moet aantonen dat f een homomorfisme is:
x=u+v en y=u'+v'in M, dan
f(x+y)=f(u+v+u'+v')=f[(u+u')+(v+v')]=(u+u',v+v')
=(u,v)+(u',v')=f(x)+f(y)
Dus f is een hom

2.r in R, x in M.Er geldt dat

f(rx)=f(r(u+v))=f(ru+rv)=f(ru)+f(rv)
=rf(u)+rf(v)
=r(f(u)+f(v))
=r(f(u+v))=rf(x)
Dus f is een R-moduulhomomorfisme.

3.Injectiviteit
Neem dus als beeld f(x) : f(x)=(u,v) zdd x=u+v.
Als f(x)=(u,v)=(u',v')=f(y), dan x=u+v=u'+v'=y
Is dit correct?

4.Ik begrijp niet hoe ik surjectiviteit aan moet tonen.

Veel groeten en een fijne jaarwisseling,
Viky
viky
Student hbo - woensdag 29 december 2004

Antwoord

0: het is correct dat je zulke u en v moet vinden, maar je moet natuurlijk wel aangeven hoe u en v van x afhangen. Hint: v=f(x) en u=x-f(x).
1, 2 en 3 gaan nu bijna vanzelf omdat f een homomorfisme is.
Voor 4: gegeven (u,v), neem x=u+v; om te bewijzen dat f(x)=(u,v) [dus: v=f(x) en u=x-f(x)] moet je gebruiken dat f=f*f.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 30 december 2004

Re: Re: Re: Isomorfisme van R-modulen