Ik heb met nog een soortgelijke opgave geoefend waarin ik moet bewijzen dat er R-moduulismorfisme is.Ik wilde vragen of het allemaal correct is en ik heb er nog enkele vragen over.
Zij M een R-moduul en f in End_R(M) een projectie, i.e. een R-homomorfisme f:M-
M met f*f=f (i.p.v.* moet er eigenlijk een rondje staan).Ik wil bewijzen dat er een R-isomorfisme M-
Ker(f)(+)Im(f)(met hier een + met een rondje er omheen) is. Ik heb zelf het volgende:
Ik moet een bijectief homomorfisme zoeken,
f:M-
Ker(f)(+)Im(f) x in M wordt gestuurd naar (u,v) in Ker(f)(+)Im(f)
x=u+v?
Is dit correct?
1.Ik moet aantonen dat f een homomorfisme is:
x=u+v en y=u'+v'in M, dan
f(x+y)=f(u+v+u'+v')=f[(u+u')+(v+v')]=(u+u',v+v')
=(u,v)+(u',v')=f(x)+f(y)
Dus f is een hom
2.r in R, x in M.Er geldt dat
f(rx)=f(r(u+v))=f(ru+rv)=f(ru)+f(rv)
=rf(u)+rf(v)
=r(f(u)+f(v))
=r(f(u+v))=rf(x)
Dus f is een R-moduulhomomorfisme.
3.Injectiviteit
Neem dus als beeld f(x) : f(x)=(u,v) zdd x=u+v.
Als f(x)=(u,v)=(u',v')=f(y), dan x=u+v=u'+v'=y
Is dit correct?
4.Ik begrijp niet hoe ik surjectiviteit aan moet tonen.
Veel groeten en een fijne jaarwisseling,
Viky
viky
29-12-2004