WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Isomorfisme van R-modulen

Hallo wisfaq,

Laat M en N modulen zijn over een commutatieve ring R.
Ik wil bewijzen dat de afbeelding h : Hom_R(R,N)-N gegeven door f-f(1) een isomorfisme is van R-modulen.
Volgens mij moet ik als volgt te werk gaan:

Ik gebruik de volgende definitie,
Een hom M-N van R-modulen is een groephom f:M-N dat voldoet aan f(rm)=rf(m) voor r in R en m in M

A.Ik moet laten zien dat h een R-moduulhom is.Dus h is i.h.b. een groepshom, h moet dus voldoen aan,

1.h(f+g)=h(f)+h(g) voor f,g in H=Hom_R(M,N) en aan,
2.h(rm)=rh(m) , r in R en m in H

B.h is injectief en surjectief

Als ik dit allemaal uitvoer krijg ik:

A.
1.h(f+g)=(f+g)(1)=f(1)+g(1)=h(f)+h(g)
2.h(rf)=(rf)(1)=rf(1)=rh(f)

B.injectief:aantonen h(f)=h(g)-f=g.
Als h(f)=h(g) dan f(1)=g(1), en f(1)-g(1)=(f-g)(1)=0 dus f=g.Dus h is injectief.
surjectief:Aantonen dat er voor iedere n in N er een f in Hom_R(M,N) bestaat zodat h(f)=f(1)=n.
Vraag:Ik begrijp niet hoe ik dit kan aantonen.

Is bovenstaande allemaal correct?

Vriendelijke groeten,
Viky
viky
Student hbo - maandag 13 december 2004

Antwoord

A is correct
B nog niet. Als je weet dat f(1)=g(1) dan weet je nog niet dat f=g want f en g zijn afbeeldingen gedefinieerd op heel R, maar voor elke r in R geldt f(r)=f(r*1)=rf(1)=rg(1)=g(r*1)=g(r), dus inderdaad f=g. Voor de surjectiviteit: definieer, bij gegeven n, de f door f(r)=rn af te spreken.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 17 december 2004

Re: Isomorfisme van R-modulen