Laat M en N modulen zijn over een commutatieve ring R. Ik wil bewijzen dat de afbeelding h : Hom_R(R,N)-N gegeven door f-f(1) een isomorfisme is van R-modulen. Volgens mij moet ik als volgt te werk gaan:
Ik gebruik de volgende definitie, Een hom M-N van R-modulen is een groephom f:M-N dat voldoet aan f(rm)=rf(m) voor r in R en m in M
A.Ik moet laten zien dat h een R-moduulhom is.Dus h is i.h.b. een groepshom, h moet dus voldoen aan,
1.h(f+g)=h(f)+h(g) voor f,g in H=Hom_R(M,N) en aan, 2.h(rm)=rh(m) , r in R en m in H
B.h is injectief en surjectief
Als ik dit allemaal uitvoer krijg ik:
A. 1.h(f+g)=(f+g)(1)=f(1)+g(1)=h(f)+h(g) 2.h(rf)=(rf)(1)=rf(1)=rh(f)
B.injectief:aantonen h(f)=h(g)-f=g. Als h(f)=h(g) dan f(1)=g(1), en f(1)-g(1)=(f-g)(1)=0 dus f=g.Dus h is injectief. surjectief:Aantonen dat er voor iedere n in N er een f in Hom_R(M,N) bestaat zodat h(f)=f(1)=n. Vraag:Ik begrijp niet hoe ik dit kan aantonen.
Is bovenstaande allemaal correct?
Vriendelijke groeten, Viky
viky
Student hbo - maandag 13 december 2004
Antwoord
A is correct B nog niet. Als je weet dat f(1)=g(1) dan weet je nog niet dat f=g want f en g zijn afbeeldingen gedefinieerd op heel R, maar voor elke r in R geldt f(r)=f(r*1)=rf(1)=rg(1)=g(r*1)=g(r), dus inderdaad f=g. Voor de surjectiviteit: definieer, bij gegeven n, de f door f(r)=rn af te spreken.
N gegeven door f-
Re: Isomorfisme van R-modulen 