WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Symmetrische polynomen

Dit is een reactie op vraag 30091

Hoi Els,

Ik heb nog een vraag over het berekenen van producten als bijv. q=s1^2s2 en q2=s1s3.Ik heb deze producten berekend gewoon door het product uit te schrijven en door dan te puzzelen en goed te kijken kwam ik erachter wat het product moet zijn. Ik weet niet of er een efficientere en sneller manier is.Maar door het op mijn manier te doen zag ik toch wat over het hoofd,nl.

1.Bij q=s1^2s2, waarbij
s2^2=som{T1^2T2^2}+2som{T1^2T2T3}+6som{T1T2T3T4},
begrijp ik niet waar die 6 vandaan komt voor som{T1T2T3T4}.
Ik heb s2^2 uitgeschreven voor n=3 en n=4, waarbij ik zag dat bij n=3, de som{T1T2T3T4} helemaal niet voorkomt en bij n=4 komt de term T1T2T3T4 zes maal voor. Maar hoe kom je er nu achter dat dit voor algemene n geldt, ik neem aan voor n=4?
Dezelfde vraag heb ik over
q2=s1s3=som{T1^2T2T3}+4som{T1T2T3T4}
Als ik s1s3 uitschrijf zie ik niet dat elke term van de vorm T1T2T3T4 4 maal voorkomt.

Veel groeten, Viky
viky
Student hbo - woensdag 24 november 2004

Antwoord

Het aantal keer dat een bepaalde term voorkomt volgt uit de combinatieleer.

Bijvb. om T1T2T3T4 te krijgen moet je uiteraard minstens vier onbekenden hebben. Dit product ontstaat uit (T1T2)*(T3T4) maar even goed uit (T1T3)*(T2T4) of (T2T4)*(T1T3) en zo kan je er wel nog een aantal bedenken nl 6 in totaal.
Je neemt er dus eigenlijk 2 uit de 4 zonder je om de volgorde te bekommeren dit is een combinatie van 2 nemen uit 4 of (4 over 2) = 4!/(2!2!) = 4*3/2 = 6.

[alles achter %%% is commentaar]

Dus (åT1T2)² = (åT1T2)(åT1T2)
= a1*(å(T1T2)(T1T2) %%% 2 aan 2 gelijk (1)
+ a2*(å(T1T2)(T1T3) %%% 1 paar gelijk, 1 paar verschillend (2)
+ a3*(å(T1T2)(T3T4) %%% vier verschillende onbekenden (3)

(1) twee aan twee gelijk: automatisch liggen beide factoren vast = 1 mogelijkheid Û a1=1
(2) 1 gelijk en 1 verschillend paar: je hebt twee mogelijkheden: dat paar verschillende, kan je op (2 over 1)=2 manieren verdelen over de factoren nl: (T1T2)*(T1T3) en (T1T3)*(T1T2)
= a2=2
(3) vier verschillende onbekenden = (4 over 2)=6 mogelijkheden. = a3=6

Of je nu werkt met T1,...,T4 of T1,...,Tn, de redenering blijft onveranderd. vb. T1T3T5T8 kan je nog steeds op 6 manieren vormen uit producten van telkens twee factoren.

Mvg,

Els

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 24 november 2004

Re: Re: Re: Symmetrische polynomen