WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integraal met wortel in de noemer

pls help me nog eens: ik moet de int. x⁴/√(1-x²) berekenen zowel via partiele integratie als via goniometrische maar het lukt me echt niet...sorry maar jullie zijn m'n laatste hoop...lieve groetjes
Tamara
3de graad ASO - donderdag 3 juni 2004

Antwoord

Hallo Tamara,

1. Goniometrische substitutie: je ziet een 1-x² staan, dus als je x=sint stelt, wordt die noemer eenvoudig een cost. En dx=costdt, dus de opgave wordt:
$\int{}$sin⁴tdt

Deze kan je oplossen door goniometrische verdubbelingsformules:
cos(4t) = 1 - 2sin²(2t)
= 1 - 2·[2sintcost]²
= 1 - 8sin²t cos²t
= 1 - 8sin²t(1-sin²t)
= 1 - 8sin²t + 8sin⁴t

Dus sin⁴t = ¹/₈ · (cos(4t)-1+8sin²t)

En cos(2t)=1-2sin²t, dus 2sin²t=1-cos(2t), dit invullen levert:
sin⁴t = ¹/₈ · (cos(4t)-1+4-4cos(2t))
= ¹/₈ · (cos(4t) - 4cos(2t) + 3)

Dit kan je makkelijk integreren, en dan kan je weer dezelfde formules gebruiken om sin(4t) en sin(2t) opnieuw in sint uit te drukken.

Algemeen: als je een n-de macht van een sinus of cosinus hebt, kan je vertrekkende van cos(nx) of sin(nx) steeds zo een uitdrukking vinden zonder exponenten. (gebruik sin(nx) voor oneven n)

2. Partiële integratie: je ziet die wortel in de noemer staan. Als je nu eens d(√(1-x²)) zou schrijven, dan duikt daar ook o.a. die wortel in de noemer op, dus dat zou wel een goed idee kunnen zijn...
d(√(1-x²)) = -x/√(1-x²) dx

Dus opgave = -$\int{}$x³d√(1-x²)
= (part.int.) -x³√(1-x²) + 3$\int{}$√(1-x²)x²dx
Die laatste integraal kan je nu oplossen als je x=sint stelt, want dan wordt die:
3$\int{}$cost sin²t cost dt
= 3 $\int{}$cos²t sin²t dt

En die is eigenlijk niet eenvoudiger dan wat je in de eerste methode (gonio) uitkwam... Behalve dat je hier misschien sin²(2t) in herkent op een factor 4 na. Dus moet je alleen nog die sin² integreren, dat kan door op te merken dat cos(2u)=1-2sin²u.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 3 juni 2004