pls help me nog eens: ik moet de int. x4/√(1-x2) berekenen zowel via partiele integratie als via goniometrische maar het lukt me echt niet...sorry maar jullie zijn m'n laatste hoop...lieve groetjes
Tamara
3de graad ASO - donderdag 3 juni 2004
Antwoord
Hallo Tamara,
1. Goniometrische substitutie: je ziet een 1-x2 staan, dus als je x=sint stelt, wordt die noemer eenvoudig een cost. En dx=costdt, dus de opgave wordt: $\int{}$sin4tdt
Deze kan je oplossen door goniometrische verdubbelingsformules: cos(4t) = 1 - 2sin2(2t) = 1 - 2·[2sintcost]2 = 1 - 8sin2t cos2t = 1 - 8sin2t(1-sin2t) = 1 - 8sin2t + 8sin4t
Dus sin4t = 1/8 · (cos(4t)-1+8sin2t)
En cos(2t)=1-2sin2t, dus 2sin2t=1-cos(2t), dit invullen levert: sin4t = 1/8 · (cos(4t)-1+4-4cos(2t)) = 1/8 · (cos(4t) - 4cos(2t) + 3)
Dit kan je makkelijk integreren, en dan kan je weer dezelfde formules gebruiken om sin(4t) en sin(2t) opnieuw in sint uit te drukken.
Algemeen: als je een n-de macht van een sinus of cosinus hebt, kan je vertrekkende van cos(nx) of sin(nx) steeds zo een uitdrukking vinden zonder exponenten. (gebruik sin(nx) voor oneven n)
2. Partiële integratie: je ziet die wortel in de noemer staan. Als je nu eens d(√(1-x2)) zou schrijven, dan duikt daar ook o.a. die wortel in de noemer op, dus dat zou wel een goed idee kunnen zijn... d(√(1-x2)) = -x/√(1-x2) dx
Dus opgave = -$\int{}$x3d√(1-x2) = (part.int.) -x3√(1-x2) + 3$\int{}$√(1-x2)x2dx Die laatste integraal kan je nu oplossen als je x=sint stelt, want dan wordt die: 3$\int{}$cost sin2t cost dt = 3 $\int{}$cos2t sin2t dt
En die is eigenlijk niet eenvoudiger dan wat je in de eerste methode (gonio) uitkwam... Behalve dat je hier misschien sin2(2t) in herkent op een factor 4 na. Dus moet je alleen nog die sin2 integreren, dat kan door op te merken dat cos(2u)=1-2sin2u.
