|
|
|
\require{AMSmath}
Hoe integreren ?
Hallo,
Ik heb problemen met het oplossen van de volgende sommen, ik krijg steeds een ander antwoordt dan wat er achterin mijn boek staat. Kan iemand deze a.u.b helemaal uitwerken zodat kan zien waar ik de fout in ga ?
1.ò (x3-6)/((x^4)+6x2+8)dx
2.ò ((e^)+(e^-v))/((e^v)-(e^-v)) dv
Sean
Student hbo - dinsdag 1 juni 2004
Antwoord
1.
We beginnen met het ontbinden van de noemer. Stel x2 = z en los de vierkantsvergelijking op.
De noemer wordt (x2+4)(x2+2)
We hebben dus een rationale functie die we kunnen splitsen in partieelbreuken :
(x3-6)/(x2+4)(x2+2) = a.x+b/x2+4 + c.x+d/x2+2
Je vindt 2x+3/x2+4 - x+3/x2+2
Je krijgt vier eenvoudige integralen =
ò2x.dx/x2+4 = òd(x2+4)/x2+4 = ln(x2+4)
ò3.dx/x2+4 = 3/2Bgtanx/2
òx.dx/x2+2 = 1/2òd(x2+2)/x2+2 = 1/2.ln(x2+2)
ò3.dx/x2+2 = 3/Ö2Bgtanx/Ö2
Samen wordt dat dan :
lnx2+4/Ö(x2+2) + 3/2(Bgtanx/2 - Ö2.Bgtanx/Ö2) + c
2.
We beginnen met de teller en de noemer te vermenigvuldigen met ev
De breuk wordt dan e2v+1/e2v-1
We voeren de substitutie uit : ev = z
Om dz te verkrijgen vermenigvuldigen we teller en noemer nogmaals met z = ev.
In de teller maken we van ev.dv = d(ev) = dz
Van de breuk rest er nu nog :
z2+1/z(z2-1) = z2+1/z(z-1)(z+1)
Splitsen in partieelbreuken :
-1/z + 1/z+1 + 1/z-1
Vermits we ook beschikken over dz kunnen we gemakkelijk integreren :
-ln(z) + ln(z+1) + ln(z-1) + c =
-ln(ev) + ln(ev+1) + ln(ev-1) + c =
-v + ln(e2v-1) + c
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 1 juni 2004
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
