\require{AMSmath}

Hoe integreren ?

Hallo,

Ik heb problemen met het oplossen van de volgende sommen, ik krijg steeds een ander antwoordt dan wat er achterin mijn boek staat. Kan iemand deze a.u.b helemaal uitwerken zodat kan zien waar ik de fout in ga ?

1.ò (x³-6)/((x^4)+6x²+8)dx
2.ò ((e^)+(e^-v))/((e^v)-(e^-v)) dv

Sean
Student hbo - dinsdag 1 juni 2004

Antwoord

1.
We beginnen met het ontbinden van de noemer. Stel x² = z en los de vierkantsvergelijking op.
De noemer wordt (x²+4)(x²+2)
We hebben dus een rationale functie die we kunnen splitsen in partieelbreuken :

^(x3-6)/_{(x²+4)(x²+2)} = ^a.x+b/_x²+4 + ^c.x+d/_x²+2

Je vindt ^2x+3/_x²+4 - ^x+3/_x²+2

Je krijgt vier eenvoudige integralen =

ò^2x.dx/_x²+4 = ò^d(x2+4)/_x²+4 = ln(x²+4)

ò^3.dx/_x²+4 = ³/₂Bgtan^x/₂

ò^x.dx/_x²+2 = ¹/₂ò^d(x2+2)/_x²+2 = ¹/₂.ln(x²+2)

ò^3.dx/_x²+2 = ³/_Ö2Bgtan^x/_Ö2

Samen wordt dat dan :

ln^x2+4/_Ö(x²+2) + ³/₂(Bgtan^x/₂ - Ö2.Bgtan^x/_Ö2) + c


2.
We beginnen met de teller en de noemer te vermenigvuldigen met e^v
De breuk wordt dan ^e2v+1/_e^2v-1

We voeren de substitutie uit : e^v = z

Om dz te verkrijgen vermenigvuldigen we teller en noemer nogmaals met z = e^v.

In de teller maken we van e^v.dv = d(e^v) = dz

Van de breuk rest er nu nog :

^z2+1/_z(z²-1) = ^z2+1/_z(z-1)(z+1)

Splitsen in partieelbreuken :

-¹/_z + ¹/_z+1 + ¹/_z-1

Vermits we ook beschikken over dz kunnen we gemakkelijk integreren :

-ln(z) + ln(z+1) + ln(z-1) + c =

-ln(e^v) + ln(e^v+1) + ln(e^v-1) + c =

-v + ln(e^2v-1) + c

LL
dinsdag 1 juni 2004

©2001-2024 WisFaq