WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijkingen 3 Pittige!

Beste Meneer, Mevrouw,

Ik krijg (na een weekend ploeteren)het niet voor elkaar om de juiste uitwerkingen te verkrijgen van de volgende DV's:

dy/dx = ((2xy)/(x²+1))+4
Onder de beginvoorwaarde y(1)=4$\pi$
Het antwoordt zou moeten zijn:
y(x)=4(arctanx)(x²+1)+$\pi$(x²+1)

(3x²)(dy/dx)+xy-1=0
Onder de beginvoorwaarde y(1)=5/2
Het antwoordt zou moeten zijn:
y(x)=(1/-2x)+(3x)^-1/3

(dy/dx)=(e^(-x+cosx))-ysinx
Onder de beginvoorwaarde y(0)=2e
Het antwoordt zou moeten zijn:
y(x)=3e^(cosx)-e^(-x+cosx)

Weet U misschien 1 of meerdere uitwerkingen.

Alvast Bedankt!
Martij
Student hbo - maandag 8 maart 2004

Antwoord

Op
http://www.sosmath.com/diffeq/first/lineareq/lineareq.html
staat de algemene manier te lezen om dit soort 1e orde dv's op te lossen. Laten we deze lijn eens aanhouden.

opgave 1.
dy/dx + (-2x/(x²+1)).y = 4
dus q(x)=4, en u(x)=exp($\int{}$p(x)dx)
(met p(x)=-2x/(x²+1))

u(x)=exp($\int{}$p(x)dx)=exp(-$\int{}$2x/(x²+1) dx)
=exp(-ln(1+x²)) = 1/(1+x²)

dus y(x)= (1/u(x))·{$\int{}$u(x)q(x)dx + C}
= (1+x²)·{$\int{}$(4/(1+x²))dx + C}
= (1+x²)·4.arctan(x) + C.(1+x²)

rvw: y(1)=4$\pi$
2·4·arctan(1)+C.(2) = 4$\pi$ $\Leftrightarrow$
8·($\pi$/4) + 2C = 4$\pi$ $\Leftrightarrow$
C=$\pi$

hieruit volgt dat
y(x)= (1+x²)·4.arctan(x) + $\pi$.(1+x²)

=================================
opgave 2:

(3x²)dy/dx + xy -1 = 0
deze moet je eerst weer in de gedaante van
dy/dx + p(x)y=q(x) omzetten:

(3x²)dy/dx + xy = 1 $\Leftrightarrow$
dy/dx + (x/3x²).y = 1/3x² $\Leftrightarrow$
dy/dx + (1/3x).y = 1/3x²

dus q(x)=1/3x² en p(x)=1/3x

etc....

zou je t van hieraf weer zelf verder kunnen?

groeten,
martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 9 maart 2004