WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vectorruimte en gelijkwaardige uitspraken

Zij V een vectorruimte. Bewijs dat de volgende uitspraken gelijkwaardig zijn:

i) {v1,....,vn} is ee basis van V.

ii) Ieder element uit V is eenduidig te schrijven als
c1v1+....+cnvn met ci Î.

iii) {v1,....,vn} is een volledig stelsel voor V en voor iedere ?in is {v1,..,vi, ..vn} geen volledig stelsel voor V. ( ik kon niet lezen wat er op de plaats van het ? stond) En boven de vi staat een Ù.

fleur
Student hbo - zondag 23 november 2003

Antwoord

Hoi Fleur,

Het lijkt mij doenbaar dit in de richting i Þ iiÞiii te bewijzen.

i Þ ii

Een basis is per definitie een verzameling vectoren die lineair onafhankelijk zijn, en voortbrengend (dat noem jij blijkbaar 'volledig stelsel'). We weten dat de verzameling {v₁,...v_n} een basis is, dus voortbrengend, dus is elk element te schrijven als lineaire combinatie van {v₁,...,v_n}.

Is dit ook eenduidig? Wel, stel dat het op twee manieren kan, dus een keer met c'tjes en een keer met d'tjes, waarbij niet telkens c_i gelijk is aan d_i.

Bv: v = c₁v₁+...+c_nv_n = d₁v₁+...+d_nv_n met c_k ¹ d_k voor een k.

Dan
v-v = 0
= c₁v₁+...+c_nv_n - (d₁v₁+...+d_nv_n)

Dus (c_k-d_k)v_k=...
Dus v_k is te schrijven als lineaire combinatie van de andere v_i'tjes! Dat kan niet, want de verzameling {v₁,...,v_n} is lineair onafhankelijk. Dit bewijst dat v eenduidig te schrijven is als lineaire combinatie.

ii Þ iii

Als ieder element uit V te schrijven is als lineaire combinatie van {v₁,...,v_n}, dan is die verzameling per definitie een volledig stelsel voor V. Het tweede deel van iii luidt: "{v₁,...,v_n} min {v_i} is geen volledig stelsel voor elke 1in".

Dat tweede deel kan je uit het ongerijmde bewijzen: stel dat voor een v_i geldt dat {v₁,...,v_n}min{v_i} een volledig stelsel is. Dan kan je ELK element van V schrijven als lineaire combinatie van die vectoren. Dus in het bijzonder kan je ook v_i schrijven als
c₁v₁+...+c_nv_n,
zonder in het rechterlid gebruik te maken van v_i.

Dus je kan v_i niet meer EENDUIDIG schrijven als lineaire combinatie van {v₁,...,v_n}, want zowel v_i als c₁v₁+...+c_nv_n zijn mogelijk.

Dat is strijdig, want we vertrokken van ii. Dus daarmee is iii bewezen.

iii Þ i

We moeten bewijzen dat {v₁,...,v_n} een basis is, dus dat die verzameling een volledig stelsel is voor V, en lineair onafhankelijk is.

- Volledig stelsel: OK, want staat expliciet in iii.
- Lineair onafhankelijk:

Weer uit het ongerijmde: stel dat {v₁,...,v_n} lineair AFhankelijk is, dwz dat
c₁v₁+...+c_nv_n=0 met niet alle c_i gelijk aan nul.

Stel dat c_k¹0. Dan kan je schrijven:

c_kv_k=-c₁v₁-...-c_nv_n waarbij in het rechterlid geen v_k meer voorkomt.

Dus v_k is te schrijven als een lineaire combinatie (*) van de ANDERE v_i'tjes.

Goed, we weten dat {v₁,...,v_n} een volledig stelsel is voor V. Dus elke v Î V is te schrijven als d₁v₁+...d_nv_n. Vervang hierin v_k door die net bekomen uitdrukking (*), en je hebt v geschreven als lineaire combinatie van {v₁,...,v_n} zonder v_k te gebruiken. En dat kan je doen voor elke vÎV.

Met andere woorden:
{v₁,...,v_n}min{v_k} is een volledig stelsel voor V, wat strijdig is met de opgave in iii.

Conclusie: {v₁,...,v_n} is lineair ONafhankelijk en dus een basis.

Hiermee is de equivalentie van i, ii en iii bewezen.

Groetjes,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 23 november 2003