Er zijn oneindig veel priemgetallen

Hoe bewijs je de stelling: er zijn oneindig veel priemgetallen.

reinie
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - maandag 4 februari 2002

Antwoord

Beste Reinier,

Stel je hebt alle priemgetallen. Vermenigvuldig ze met elkaar. Tel bij de uitkomst 1 op, en noem dit nieuwe getal N.

Als je 1 optelt bij een veelvoud van een priemgetal P, dan is dit getal niet weer deelbaar door P. Dat komt doordat dit P groter is dan 1. Er zit steeds een tussenruimte van P tussen de veelvouden van P.

Maar dat betekent dat het getal N dat we hadden niet deelbaar is door een van de priemgetallen waar we mee begonnen. En dat waren alle priemgetallen, zo dachten we. Dat kan dus niet waar zijn, want ofwel N is zelf een priemgetal, ofwel N is deelbaar door een aantal priemgetallen dat we nog niet hadden.

We kunnen dus niet beginnen met alle priemgetallen en die met elkaar vermenigvuldigen. Dat zou wel kunnen als er maar eindig veel waren. Het aantal priemgetallen moet dus oneindig zijn. Zie vraag.1347

maandag 4 februari 2002

©2004-2024 WisFaq