Rechthoek in ellips
Veronderstel dat er een ellips gegeven is, bijvoorbeeld x2/4+y2/16=1 en de lijn y=x of de lijn y = 1/2x.
Hoe bereken ik de grootste oppervlakte van de rechthoek waar de zijden evenwijdig en loodrecht staan op de gegeven lijn, en waarbij geen hoekpunten buiten de ellips vallen.
KS622
Student universiteit - vrijdag 8 december 2023
Antwoord
Hier is een uitwerking voor $y=x$, die is wat eenvoudiger dan de andere, zie de opmerkingen aan het eind.
De lijnen parallel aan deze lijn hebben een vergelijking van de vorm $x-y=p$, de lijnen er loodrecht op hebben $x+y=q$ als vergelijking.
Een punt op je ellips kun je uitdrukken als $(2\cos t,4\sin t)$, met $0\le t\le2\pi$.
Je rechthoek moet een hoekpunt op de ellips hebben (anders maak je hem groter tot dat wel zo is), zeg $P=(2\cos t,4\sin t)$ met $0\le t\le\frac\pi2$ (we nemen dat punt in het eerste kwadrant. Dan is $Q=(-2\cos t,-4\sin t)$ ook een hoekpunt van de rechthoek.
De lijnen door $P$ en $Q$ evenwijdig aan $y=x$ hebben dan vergelijking
$$x-y=2\cos t-4\sin t \text{ en } x-y=-2\cos t+4\sin t
$$volgens bekende formules is de onderlinge afstand dan gelijk aan
$$\frac1{\sqrt2}|4\cos t-8\sin t|
$$Idem voor de loodrechte lijnen
$$x+y=2\cos t+4\sin t \text{ en } x+y=-2\cos t-4\sin t
$$met afstand gelijk aan
$$\frac1{\sqrt2}|4\cos t+8\sin t|
$$De oppervlakte van de rechthoek is dan
$$\frac12|64\sin^2t-16\cos^2t|
$$en daar kun je dan $4|5\cos(2t)-3|$ van maken.
Echter: de andere twee hoekpunten van de rechthoek zijn dan $\pm(4\sin t,2\cos t)$ en die moeten binnen de ellips liggen en dat betekent dat
$$\frac{16\sin^2 t}{4}+\frac{4\cos^2t}{16}\le 1
$$moet gelden; als je dat met gonioformules uitwerkt kom je uiteindelijk op
$$\cos2t\ge\frac35
$$Op dat interval is de oppervlakte maximaal als $t=0$.
Bij de andere lijn wordt het wat vervelender de vergelijkingen van de lijnen zijn nu van de vorm $x-2y=p$ en $2x+y=q$.
De afstanden worden nu
$$\frac1{\sqrt5}|4\cos t-16\sin t|\text{ en }\frac1{\sqrt5}|8\cos t+8\sin t|
$$de oppervlakte is nu gelijk aan
$$\frac{32}{\sqrt5}|\cos^2t-3\sin t\,\cos t-4\sin^2t|
$$Daar kun je een uitdrukking met $\sin2t$ en $\cos 2t$ van maken, dat
differentieert wat makkelijker.
Verder moet je nog bepalen voor welke waarden van $t$ de andere twee
hoekpunten van de rechthoek binnen de ellips liggen.
Wat wel makkelijk om te weten is dat het niet om de waarden van $t$ gaat
maar om de waarden van $\cos t$ en $\sin t$.
kphart
maandag 11 december 2023
©2001-2024 WisFaq
|
