WisFaq!

Rechthoek in ellips

Veronderstel dat er een ellips gegeven is, bijvoorbeeld x²/4+y²/16=1 en de lijn y=x of de lijn y = 1/2x.

Hoe bereken ik de grootste oppervlakte van de rechthoek waar de zijden evenwijdig en loodrecht staan op de gegeven lijn, en waarbij geen hoekpunten buiten de ellips vallen.

KS622
8-12-2023

Antwoord

Hier is een uitwerking voor $y=x$, die is wat eenvoudiger dan de andere, zie de opmerkingen aan het eind.

De lijnen parallel aan deze lijn hebben een vergelijking van de vorm $x-y=p$, de lijnen er loodrecht op hebben $x+y=q$ als vergelijking.
Een punt op je ellips kun je uitdrukken als $(2\cos t,4\sin t)$, met $0\le t\le2\pi$.

Je rechthoek moet een hoekpunt op de ellips hebben (anders maak je hem groter tot dat wel zo is), zeg $P=(2\cos t,4\sin t)$ met $0\le t\le\frac\pi2$ (we nemen dat punt in het eerste kwadrant. Dan is $Q=(-2\cos t,-4\sin t)$ ook een hoekpunt van de rechthoek.

De lijnen door $P$ en $Q$ evenwijdig aan $y=x$ hebben dan vergelijking
$$x-y=2\cos t-4\sin t \text{ en } x-y=-2\cos t+4\sin t
$$volgens bekende formules is de onderlinge afstand dan gelijk aan
$$\frac1{\sqrt2}|4\cos t-8\sin t|
$$Idem voor de loodrechte lijnen
$$x+y=2\cos t+4\sin t \text{ en } x+y=-2\cos t-4\sin t
$$met afstand gelijk aan
$$\frac1{\sqrt2}|4\cos t+8\sin t|
$$De oppervlakte van de rechthoek is dan
$$\frac12|64\sin^2t-16\cos^2t|
$$en daar kun je dan $4|5\cos(2t)-3|$ van maken.

Echter: de andere twee hoekpunten van de rechthoek zijn dan $\pm(4\sin t,2\cos t)$ en die moeten binnen de ellips liggen en dat betekent dat
$$\frac{16\sin^2 t}{4}+\frac{4\cos^2t}{16}\le 1
$$moet gelden; als je dat met gonioformules uitwerkt kom je uiteindelijk op
$$\cos2t\ge\frac35
$$Op dat interval is de oppervlakte maximaal als $t=0$.

Bij de andere lijn wordt het wat vervelender de vergelijkingen van de lijnen zijn nu van de vorm $x-2y=p$ en $2x+y=q$.
De afstanden worden nu
$$\frac1{\sqrt5}|4\cos t-16\sin t|\text{ en }\frac1{\sqrt5}|8\cos t+8\sin t|
$$de oppervlakte is nu gelijk aan
$$\frac{32}{\sqrt5}|\cos^2t-3\sin t\,\cos t-4\sin^2t|
$$Daar kun je een uitdrukking met $\sin2t$ en $\cos 2t$ van maken, dat
differentieert wat makkelijker.

Verder moet je nog bepalen voor welke waarden van $t$ de andere twee
hoekpunten van de rechthoek binnen de ellips liggen.
Wat wel makkelijk om te weten is dat het niet om de waarden van $t$ gaat
maar om de waarden van $\cos t$ en $\sin t$.

kphart
11-12-2023