Volume berekenen van cirkel in andere cirkel door dubbelintegralen

Bekijk het gebied G dat binnen een cirkel ligt met straal 1 en de oorsprong als middelpunt, en dat niet behoort tot de cirkel met diameter 1 en middelpunt (12,0).
1. Maak een schets van G en beschrijf het als een (unie van) normaalgebied(en) t.o.v. de X-as. Leg je beschrijving ook uit a.d.h.v. je schets.
2. Bereken, met uitleg, het volume van het lichaam met grondvlak G en hoogte in elk punt gegeven door z = x.

beste, dit is een opgave uit mijn oefeningen. ik begrijp dat je de dubbelintegralen moet gebruiken maar ik zit een beetje vast met het feit dat je poolcoordinaten of cartesiche coordinaten moet gebruiken. moet ik de 2 cirkels oppervlakte berekenen en dan het verschil of hoe zit dit?

bedankt voor het antwoord!

pess
Student universiteit België - zaterdag 27 mei 2023

Antwoord

Ik neem aan dat die tweede cirkel middelpunt $(\frac12,0)$ heeft (en niet $(12,0)$ dus).
Dan krijg je dit plaatje:

De grote cirkel heeft vergelijking $x^2+y^2=1$; en de kleine $(x-\frac12)^2+y^2=\frac14$, die kun je omwerken tot $x^2-x+y^2=0$ (en dat geeft $y=\pm\sqrt{x-x^2}$.
In het plaatje kun je een verdeling in drie normaalgebieden zien.

Je laatste vraag laat zien dat je vraag 2 niet goed gelezen hebt: die vraagt naar een volume en een volume krijg je niet door oppervlakten van elkaar af te trekken.

Aangezien het om een volume gaat vermoed ik dat je $\iint_G|x|\,\mathrm{d}(x,y)$ uit moet rekenen. Daar maak je dan een som van drie integralen van:
$$
\iint_G|x|\,\mathrm{d}(x,y) = \iint_I|x|\,\mathrm{d}(x,y) + \iint_{II}|x|\,\mathrm{d}(x,y) + \iint_{III}|x|\,\mathrm{d}(x,y)
$$
en elk van die drie kunt je als herhaalde integraal schrijven:
$$
\iint_I|x|\,\mathrm{d}(x,y) = \int_{-1}^0\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} -x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
$$
en
$$
\iint_{II}|x|\,\mathrm{d}(x,y) = \int_0^1\int_{\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
$$
en idem voor $III$.

Het kan ook met poolcoördinaten doen: grote cirkel $r=1$, kleine cirkel $r=\cos\theta$, en er komt
$$
\iint_{II}|x|\,\mathrm{d}(x,y)=\int_0^{\frac\pi2}\int_{\cos\theta}^1 r\cos\theta\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta
$$

kphart
zaterdag 27 mei 2023

©2001-2024 WisFaq