Re: Differentiaalvergelijking
Heel erg bedankt voor de snelle reactie.
Met Maple krijg ik:
with(DEtools); ode:=(lambda^(k+1)*t^k)/(lambda*t+1)**k=Diff(F(t),t)/(1-F(t)); ans:=dsolve(ode); ans := F(t) = (Int(lambda^(k+1)*t^k*(lambda*t+1)^(-k)*exp(lambda^(k+1)*t^(k+1)*hypergeom([k, k+1], [2+k], -lambda*t)/(k+1)), t)+_C1)*exp(-lambda^(k+1)*t^(k+1)*hypergeom([k, k+1], [2+k], -lambda*t)/(k+1)); Het probleem is de niet opgeloste integraal:
Int(lambda^(k+1)*t^k*(lambda*t+1)^(-k)*exp(lambda^(k+1)*t^(k+1)*hypergeom([k, k+1], [2+k], -lambda*t)/(k+1)), t);
Ad van
Docent - maandag 18 maart 2019
Antwoord
Die integraal is te doen, voor individuele $k$, laat Maple de DV maar voor $k=1$, $k=2$, $k=3$, $\dots$ oplossen. Ten koste van een sommatie is er nog wel iets te doen als $k$ een natuurlijk getal is: $$ \frac{\lambda^{k+1}t^k}{(\lambda t+1)^k} = \lambda\frac{(\lambda t+1-1)^k}{(\lambda t+1)^k} $$en met het binomium van Newton maken we daar $$ \lambda\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}\frac{(-1)^{k-j}}{(\lambda t+1)^{k-j}} $$van, elke term is makkelijk te primitiveren.
kphart
maandag 18 maart 2019
©2001-2024 WisFaq
|