WisFaq!

Re: Differentiaalvergelijking

Heel erg bedankt voor de snelle reactie.

Met Maple krijg ik:

with(DEtools);
ode:=(lambda^(k+1)*t^k)/(lambda*t+1)**k=Diff(F(t),t)/(1-F(t));
ans:=dsolve(ode);
ans := F(t) = (Int(lambda^(k+1)*t^k*(lambda*t+1)^(-k)*exp(lambda^(k+1)*t^(k+1)*hypergeom([k, k+1], [2+k], -lambda*t)/(k+1)), t)+_C1)*exp(-lambda^(k+1)*t^(k+1)*hypergeom([k, k+1], [2+k], -lambda*t)/(k+1));

Het probleem is de niet opgeloste integraal:

Int(lambda^(k+1)*t^k*(lambda*t+1)^(-k)*exp(lambda^(k+1)*t^(k+1)*hypergeom([k, k+1], [2+k], -lambda*t)/(k+1)), t);

Ad van der Ven
18-3-2019

Antwoord

Die integraal is te doen, voor individuele $k$, laat Maple de DV maar voor $k=1$, $k=2$, $k=3$, $\dots$ oplossen.
Ten koste van een sommatie is er nog wel iets te doen als $k$ een natuurlijk getal is:
$$
\frac{\lambda^{k+1}t^k}{(\lambda t+1)^k} = \lambda\frac{(\lambda t+1-1)^k}{(\lambda t+1)^k}
$$en met het binomium van Newton maken we daar
$$
\lambda\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}\frac{(-1)^{k-j}}{(\lambda t+1)^{k-j}}
$$van, elke term is makkelijk te primitiveren.

kphart
18-3-2019