Anti-symmetrische matrices

Heeft een reële anti-symmetrische matrix altijd een imaginair spectrum?

Ik de cursus staat dat de eigenwaarden in paren voorkomen bij even dimensies en oneven dimensies, en bij oneven dimensies is er ook nog de eigenwaarde 0.

Ik weet echter niet hoe ze aan die conclusie komen...

Iemand die dit kan uitleggen?

Dries
Student universiteit België - vrijdag 23 mei 2014

Antwoord

Beste Dries,

Als $A$ een reële anti-symmetrische matrix is, dan geldt $A^T = -A$. Stel $x$ is een niet-nulle eigenvector van $A$ met eigenwaarde $\lambda$, dan geldt:

$$Ax = \lambda x$$ $$Ax^* = \lambda^* x^*$$ $$(Ax^*)^T = (\lambda^* x^*)^T$$ $$(x^*)^TA^Tx = \lambda^* (x^*)^T x$$Maar $A^T= -A$ en verder volgt $Ax = \lambda x$, dus
$$-(x^*)^T \lambda x = \lambda^* (x^*)^T x$$ $$- \lambda \| x \|^2 = \lambda^* \| x \|^2$$waaruit volgt dat de gelijkheid $- \lambda = \lambda^*$ moet gelden en dat kan alleen als $\lambda$ zuiver imaginair is.

mvg,
Tom

vrijdag 23 mei 2014

Re: Anti-symmetrische matrices

©2001-2024 WisFaq