WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 29 maart 2024

Anti-symmetrische matrices

Heeft een reële anti-symmetrische matrix altijd een imaginair spectrum?

Ik de cursus staat dat de eigenwaarden in paren voorkomen bij even dimensies en oneven dimensies, en bij oneven dimensies is er ook nog de eigenwaarde 0.

Ik weet echter niet hoe ze aan die conclusie komen...

Iemand die dit kan uitleggen?

Dries
23-5-2014

Antwoord

Beste Dries,

Als $A$ een reële anti-symmetrische matrix is, dan geldt $A^T = -A$. Stel $x$ is een niet-nulle eigenvector van $A$ met eigenwaarde $\lambda$, dan geldt:

$$Ax = \lambda x$$ $$Ax^* = \lambda^* x^*$$ $$(Ax^*)^T = (\lambda^* x^*)^T$$ $$(x^*)^TA^Tx = \lambda^* (x^*)^T x$$Maar $A^T= -A$ en verder volgt $Ax = \lambda x$, dus
$$-(x^*)^T \lambda x = \lambda^* (x^*)^T x$$ $$- \lambda \| x \|^2 = \lambda^* \| x \|^2$$waaruit volgt dat de gelijkheid $- \lambda = \lambda^*$ moet gelden en dat kan alleen als $\lambda$ zuiver imaginair is.

mvg,
Tom

td
23-5-2014


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#73145 - Lineaire algebra - Student universiteit België