Oplossing zoeken voor drie beginvoorwaarden

Een fysische grootheid Y voldoet aan volgende differentiaalvergelijking:

8(dY(t)/dt) + 2Y(t) = 10

Zoek de oplossing voor volgende drie beginvoorwaarden (Y(0) is de waarde van Y voor t = 0) en geef de oplossing grafisch weer.

a) Y(0) = 0
b) Y(0) = 15
c) Y(0) = 5

Hoe moet ik deze differentiaalvergelijking precies oplossen?

Mvg.
Marie Vanhoof

Marie
Student universiteit België - dinsdag 16 oktober 2012

Antwoord

Ik weet natuurlijk niet wat je van de theorie en oplosmethoden ter beschikking hebt, maar deze DV is van het type dy/dt + P(t).y = Q(t).
In jouw specifieke opgave is P(t) = 1/4 = 0,25 en Q(t) = 5/4 = 1,25

In wat hierna komt speelt òP(t)dt = ò0,25dt = 0,25t een rol en om niet te struikelen over machten met integraalvormen als exponent, noem ik dat stukje even R(t). Dus R(t) = 0,25t

De oplossing van die algemene DV wordt (gebruikmakend van allerlei techniekjes zoals een integrerende factor) dan als volgt:
e^R(t)y = ò(e^R(t)Q(t)dt + c

Met invullen van de nu geldende waarden levert dat op:

e^0,25t.y = ò1,25e^0,25tdt + c ofwel

e^0,25t.y = 5e^0,25t + c en na deling wordt dat dan

y = 5 + c.e^-0,25t

Je kunt vrij gemakkelijk nagaan dat deze y inderdaad aan jouw DV voldoet.

Voor de afleiding van de algemene oplossing zal je wel een dik boek ter beschikking hebben waar dit soort DV'en wordt aangepakt.

MBL
dinsdag 16 oktober 2012

©2001-2024 WisFaq