WisFaq!

Oplossing zoeken voor drie beginvoorwaarden

Een fysische grootheid Y voldoet aan volgende differentiaalvergelijking:

8(dY(t)/dt) + 2Y(t) = 10

Zoek de oplossing voor volgende drie beginvoorwaarden (Y(0) is de waarde van Y voor t = 0) en geef de oplossing grafisch weer.

a) Y(0) = 0
b) Y(0) = 15
c) Y(0) = 5

Hoe moet ik deze differentiaalvergelijking precies oplossen?

Mvg.
Marie Vanhoof

Marie Vanhoof
16-10-2012

Antwoord

Ik weet natuurlijk niet wat je van de theorie en oplosmethoden ter beschikking hebt, maar deze DV is van het type dy/dt + P(t).y = Q(t).
In jouw specifieke opgave is P(t) = 1/4 = 0,25 en Q(t) = 5/4 = 1,25

In wat hierna komt speelt òP(t)dt = ò0,25dt = 0,25t een rol en om niet te struikelen over machten met integraalvormen als exponent, noem ik dat stukje even R(t). Dus R(t) = 0,25t

De oplossing van die algemene DV wordt (gebruikmakend van allerlei techniekjes zoals een integrerende factor) dan als volgt:
e^R(t)y = ò(e^R(t)Q(t)dt + c

Met invullen van de nu geldende waarden levert dat op:

e^0,25t.y = ò1,25e^0,25tdt + c ofwel

e^0,25t.y = 5e^0,25t + c en na deling wordt dat dan

y = 5 + c.e^-0,25t

Je kunt vrij gemakkelijk nagaan dat deze y inderdaad aan jouw DV voldoet.

Voor de afleiding van de algemene oplossing zal je wel een dik boek ter beschikking hebben waar dit soort DV'en wordt aangepakt.

MBL
16-10-2012