Het produkt van de afstanden van de brandpunten van een ellips
Hallo, ik heb wederom een vraagje, vermits de vorige vraag iets te makkelijk was, snap ik nog steeds niet goed hoe ik tewerk moet gaan, deze vraag is iets moeilijker en mede daardoor denk ik dat deze oplossing men probleem moet ophelderen, men vraag:
Het produkt van de afstanden van de brandpunten van een ellips E tot een veranderlijke raaklijn aan E is constant. Bewijs:
Het enige wat ik hierover kan zeggen is dat de kortste afstand van een punt tot een rechte de loodrechte projectie hierop is aldus zijn het de 2 loodlijnen.
Bedankt
gerrie
3de graad ASO - dinsdag 28 april 2009
Antwoord
Voor een cirkel is het eenvoudig (de twee brandpunten vallen samen in het middelpunt).
Elke andere ellips heeft met een geschikt orthonormaal assenstelsel een vergelijking van de vorm
(x/a)2 + (y/b)2 = 1,
met bijbehorende brandpunten F1(-c,0) en F2(c,0) waarbij
c2 = a2 - b2 (a$>$b$>$0, c$>$0).
Het punt P(a搾os(t),b新in(t)), 0$\leq$t$<$2$\pi$, doorloopt de ellips.
De veranderlijke raaklijn r heeft dus vergelijking
x戢搾os(t)/a2 + y搓新in(t)/b2 = 1, dus ook
x搾os(t)/a + y新in(t)/b = 1.
De afstand van een punt tot een lijn wordt gevonden met de vergelijking van Hesse. Dat geeft hier:
d(F1,r) = |-c搾os(t)/a + 0新in(t)/b - 1| /√((cos(t)/a)2 + (sin(t)/b)2),
d(F2,r) = |c搾os(t)/a + 0新in(t)/b - 1| /√((cos(t)/a)2 + (sin(t)/b)2).
Het product van deze twee afstanden is dus
(1-(c搾os(t)/a)2)/((cos(t)/a)2 + (sin(t)/b)2).
Zet nu a2 - b2 in de plaats van c2, en
1-(cos(t))2 in de plaats van (sin(t))2, en vereenvoudig. Je vindt dan b2.
(Dit alles geldt ook voor een cirkel, met a=b en c=0.)
woensdag 29 april 2009
©2001-2024 WisFaq
|
Re: Het produkt van de afstanden van de brandpunten van een ellips