WisFaq!

Het produkt van de afstanden van de brandpunten van een ellips

Hallo, ik heb wederom een vraagje, vermits de vorige vraag iets te makkelijk was, snap ik nog steeds niet goed hoe ik tewerk moet gaan, deze vraag is iets moeilijker en mede daardoor denk ik dat deze oplossing men probleem moet ophelderen, men vraag:

Het produkt van de afstanden van de brandpunten van een ellips E tot een veranderlijke raaklijn aan E is constant. Bewijs:

Het enige wat ik hierover kan zeggen is dat de kortste afstand van een punt tot een rechte de loodrechte projectie hierop is aldus zijn het de 2 loodlijnen.
Bedankt

gerrie cuvelier
28-4-2009

Antwoord

Voor een cirkel is het eenvoudig (de twee brandpunten vallen samen in het middelpunt).
Elke andere ellips heeft met een geschikt orthonormaal assenstelsel een vergelijking van de vorm
(x/a)² + (y/b)² = 1,
met bijbehorende brandpunten F₁(-c,0) en F₂(c,0) waarbij
c² = a² - b² (a$>$b$>$0, c$>$0).
Het punt P(a搾os(t),b新in(t)), 0$\leq$t$<$2$\pi$, doorloopt de ellips.
De veranderlijke raaklijn r heeft dus vergelijking
x戢搾os(t)/a² + y搓新in(t)/b² = 1, dus ook
x搾os(t)/a + y新in(t)/b = 1.
De afstand van een punt tot een lijn wordt gevonden met de vergelijking van Hesse. Dat geeft hier:
d(F₁,r) = |-c搾os(t)/a + 0新in(t)/b - 1| /√((cos(t)/a)² + (sin(t)/b)²),
d(F₂,r) = |c搾os(t)/a + 0新in(t)/b - 1| /√((cos(t)/a)² + (sin(t)/b)²).
Het product van deze twee afstanden is dus
(1-(c搾os(t)/a)²)/((cos(t)/a)² + (sin(t)/b)²).
Zet nu a² - b² in de plaats van c², en
1-(cos(t))² in de plaats van (sin(t))², en vereenvoudig. Je vindt dan b².
(Dit alles geldt ook voor een cirkel, met a=b en c=0.)

hr
29-4-2009