Draadlengte op een kloshaspel

Ooit leidde mijn leraar wiskunde een formule af om de lengte van een kabel op een haspel te berekenen. In de formule kwamen de diameter van de kabel voor en de -veranderende- diameter van de opgewikkelde kabel. Toen snapte ik het. Echter 30+ jaren later probeerde ik het aan iemand uit te leggen en verslikte me er in. Weten iemand van jullie wat ik bedoel?

Hans M
Iets anders - woensdag 1 april 2009

Antwoord

Stel dat de diameter (in meters) van de basiscirkel op de haspel d_h is, en de diameter (of dikte) van de kabel d_k.
Bij de wikkelslag met klein volgnummer i wordt bij benadering
$\pi$·(d_h+(i-1)·2·d_k) meter kabel opgelegd (in feite iets meer); bij groot volgnummer i moet men (i-1) al bijna door i vervangen.
De lengte van de kabel op de haspel na n wikkelslagen is dus groter dan
n·$\pi$·d_h + (n-1)·n·$\pi$·d_k en kleiner dan
n·$\pi$·d_h + (n+1)·n·$\pi$·d_k.
Voor middelmatig grote n zal
n·$\pi$·d_h + n·n·$\pi$·d_k wel een goede benadering zijn.

(Te gebruiken formules:
$\sum$_i=1ⁱ⁼ⁿ i-1 = (n-1)·n/2,
$\sum$_i=1ⁱ⁼ⁿ i = (n+1)·n/2,
$\int{}$₀ⁿ x dx = n·n/2.)

donderdag 2 april 2009

©2001-2024 WisFaq