Re: Diagonaliseerbaarheid

Dit is een reactie op vraag 51156

Als ik het goed begrijp is alles correct behalve dat ik één
eigenvector te weinig gevonden heb.

Ik verwar wel het volgende:

U vertelt eerste dat de algebraische multipliciteit gelijk is aan 4 en dus gelijk aan de dimensie van de vectorruimte. Bijgevolg is de lineaire afbeelding toch diagonaliseerbaar?

Even later vertelt u dan mm am en de matrix niet diagonliseerbaar is.

Pieter
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 2 juni 2007

Antwoord

Beste Pieter,

De lineaire afbeelding (overeenstemmend met de nxn matrix) is diagonaliseerbaar als je n lineair onafhankelijke eigenvectoren vindt. Dat is voldaan als de totale meetkundige multiplicteit (som van de mm's van alle eigenwaarden) gelijk is aan n, niet de algebraïsche.

Als je karakteristieke vergelijking van de vorm (x-k)^p = 0 is, dan is x = k een eigenwaarde met algebraïsche algebraïsche p. Vandaar dat je eigenwaarde 0, am 4 heeft. Het is pas als de mm ook 4 is (dus 4 lineair onafhankelijke eigenvectoren), dat am = mm voor deze eigenwaarde. Aangezien dit de enige eigenwaarde is, heb je dan ook diagonaliseerbaarheid.

De twee eigenvectoren zijn (1,0,0,1) en (0,1,0,0), of een schaling daarvan.

mvg,
Tom

zaterdag 2 juni 2007

©2001-2024 WisFaq