\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Dubbele integraal en cardioid

Beste Wisfaq,

Kunt u zeggen hoe ik moet oplossen:

òòydA met als grondvlak de bovenste helft van een cardioid met r 1 + cosq

Ik weet hoe een cardioid (een hartje!) eruit ziet en ook hoe je de oppervlakte van een cardioid moet berekenen (gelezen op Wikipedia). Ik zou eerlijk gezegd niet weten hoe ik deze voorkennis op bovenstaand vraagstuk moet toepassen.
Alvast bedankt

Sara
Student universiteit - woensdag 14 maart 2007

Antwoord

q49680img1.gif

Deze integraal kun je het beste in poolcoördinaten behandelen.
òòydA
Deze zetten we om: y=r.sinq, en dA = rdrdq
Verder lopen de integratiegrenzen als volgt:
q van 0 tot p. géén 2p want het gaat alleen om de bovenste helft van de cardioide!
en r van 0 tot 1+cosq

òòydA = òòrsinq.rdrdq
= òòr2sinqdrdq
(eerst integreren we de r eruit)
= 0òp[1/3r3sinq]01+cosqdq
= (1/3)0òp(1+cosq)3sinqdq
= -(1/3)0òp(1+cosq)3dcosq
= -(1/3)[1/4(1+cosq)4]0p
= 4/3

groeten,
martijn

mg
donderdag 15 maart 2007

©2001-2024 WisFaq