WisFaq!

Dubbele integraal en cardioid

Beste Wisfaq,

Kunt u zeggen hoe ik moet oplossen:

òòydA met als grondvlak de bovenste helft van een cardioid met r 1 + cosq

Ik weet hoe een cardioid (een hartje!) eruit ziet en ook hoe je de oppervlakte van een cardioid moet berekenen (gelezen op Wikipedia). Ik zou eerlijk gezegd niet weten hoe ik deze voorkennis op bovenstaand vraagstuk moet toepassen.
Alvast bedankt

Sara
14-3-2007

Antwoord

Deze integraal kun je het beste in poolcoördinaten behandelen.
òòydA
Deze zetten we om: y=r.sinq, en dA = rdrdq
Verder lopen de integratiegrenzen als volgt:
q van 0 tot p. géén 2p want het gaat alleen om de bovenste helft van de cardioide!
en r van 0 tot 1+cosq

òòydA = òòrsinq.rdrdq
= òòr²sinqdrdq
(eerst integreren we de r eruit)
= ₀ò^p[¹/₃r³sinq]₀^1+cosqdq
= (¹/₃)₀ò^p(1+cosq)³sinqdq
= -(¹/₃)₀ò^p(1+cosq)³dcosq
= -(¹/₃)[¹/₄(1+cosq)⁴]₀^p
= 4/3

groeten,
martijn

mg
15-3-2007