Kleinste reele
Bepaal het kleinste reele getal M zodanig dat voor alle reele getallen a, b en c de volgende ongelijkheid geldt:
|ab(a2 − b2) + bc(b2 − c2) + ca(c2 − a2)|  M(a2 + b2 + c2)2
jop
2de graad ASO - zaterdag 20 januari 2007
Antwoord
Die M is gelijk aan het maximum K van de functie f(x,y,z)=|xy(x2-y2)+yz(y2-z2)+zx(z2-x2)| onder de nevenvoorwaarde x2+y2+z2=1.
Dat maximum bestaat want f is continu en de nevenvoorwaarde bepaalt een gesloten en begrensde verzameling. Bewijs dat K voldoet: ten eerste, als K=f(p,q,r) dan geldt f(p,q,r)=K(p2+q2+r2)2, omdat p2+q2+r2=1 (dit betekent dat geen getal kleiner dan K voldoet). Ten tweede, neem (a,b,c) willekeurig, schrijf t=(a2+b2+c2)1/2 en bekijk (x,y,z)=(a/t,b/t,c/t); dan x2+y2+z2=1, dus
f(x,y,z)K. Maar f(x,y,z)=f(a,b,c)/t4, dus f(a,b,c)Kt4=K(a2+b2+c2)2, dus K zelf voldoet. Conclusie K is de gevraagde M.
Je kunt K bepalen met behulp van de multiplicatorenmethode van Euler en Lagrange.
kphart
maandag 22 januari 2007
©2001-2024 WisFaq
|