Re: Re: Re: Integraal irrationale functie

Dit is een reactie op vraag 43935

Ik weet echt niet hoe je dit met een andere goniometrische substitutie kan uitvoeren.

Ik licht mijn oplossing toe:

Opgave: $\int{}$√(4x²-4x+5) dx

1) ik herschrijf: $\int{}$√((2x-1)²+4) dx

2) ik voer een substitutie uit:

(2x-1) = 2tant
d(2x-1)=d(2tant)
2dx=2/cos²t
dx=1/cos²t
3)ik vul in:

$\int{}$√(4tan²t+4) · 1/cos²t dt
= 2$\int{}$√(tan²t+1)· 1/cos²t dt
= 2$\int{}$√((sin²t+cos²t)/cos²t)· 1/cos²t dt
= 2$\int{}$√(1/cos²t)· 1/cos²t dt
= 2$\int{}$(1/cos³t)dt

4) nu weet ik het niet; ik kan nu toch niet verderbouwen op die van:
$\int{}$1/cosx dx

Zou U eventueel deze opgaven eens willen maken en mij door te sturen, want ik slaag er niet in.

Alvast bedankt,

Hopelijk tot hoors

Joris
3de graad ASO - donderdag 2 maart 2006

Antwoord

Hey Joris!

Ik heb me gisteravond even wat meer verdiept in goniometrische substitutie.. Allereerst moet ik even opmerken dat je op de goede weg bent hoor! Sorry dat ik je misschien op het verkeerde been heb gezet, maar de substitutie van
(2x-1)=2tan(t) is prima! Ik had zelf nog nooit iets geintegreerd van de vorm $\int{}$√(x²+a²) dus vandaar dat ik niet gelijk dacht aan de substitutie van (2x-1) = 2tan(t)... excuses daarvoor! In ieder geval is de berekening prima, alleen blijf je dus nog zitten met een integraal die opzich ook nie zo heel lastig is te berekenen hoor. Dat gaat als volgt:

Ik ga er van uit dat je het volgende weet:

$\int{}$1/cos(t)dt = ln(1/cos(t)+tan(t)) + C

Als je hiervan het bewijs nog wil zien moet je het maar zeggen...

De berekening gaat nu als volgt:

2$\int{}$(1/cos(t)³)dt
= 2$\int{}$(1/cos(t))(1/cos(t)²)dt
= 2$\int{}$(1/cos(t))d(tan(t))

Dan toepassen partiel integreren:

=2tan(t)/cos(t)-2$\int{}$tan(t)d(1/cos(t))
=2tan(t)/cos(t)-2$\int{}$tan(t)(sin(t)/cos(t)²)dt
=2tan(t)/cos(t)-2$\int{}$(sin(t)²/cos(t)³)dt
=2tan(t)/cos(t)-2$\int{}$(1-cos(t)²)/cos(t)³dt
=2tan(t)/cos(t)-2$\int{}$1/cos(t)³)dt+2$\int{}$1/cos(t)dt

Nu hebben we dus het volgende:

2$\int{}$(1/cos(t)³dt=2tan(t)/cos(t)-2$\int{}$1/cos(t)³dt+2$\int{}$1/cos(t)dt

4$\int{}$(1/cos(t)³dt = 2tan(t)/cos(t)+2$\int{}$1/cos(t)dt
2$\int{}$(1/cos(t)³dt = tan(t)/(cos(t)) + $\int{}$1/cos(t)dt
2$\int{}$(1/cos(t)³dt = tan(t)/(cos(t)) + ln(1/cos(t)+tan(t)) + C

Nu hebben we dus een oplossing gevonden die is uitgedrukt in t. Uiteraard wil je een oplossing hebben uitgedrukt in x. Hiervoor gebruiken we de volgende relaties:

cos(t) = 2/√((2x-1)²+2²)
tan(t) = (2x-1)/2

Deze relaties kan je vinden door een rechthoekige driehoek te tekenen met rechthoekszijden a en (2x-1). De schuine zijde is dan uiteraard √((2x-1)²+2²).

Als je bovenstaande vergelijkingen in de berekende intgraal invult kom je tot het volgende antwoord:

2$\int{}$(1/cos(t)³)dt = (2x-1)/4·√((2x-1)²+2²)+ln((√((2x-1)²+2²)+(2x-1))/2) + C

Dit kan je nog vereenvoudigen tot het volgende:

2$\int{}$(1/cos(t)³)dt = (2x-1)/4·√((2x-1)²+2²)+ln((√((2x-1)²+2²)+(2x-1))) + C

Dit moet volgens mij het antwoord zijn.. Ik hoop dat mijn uitleg een beetje duidelijk is, anders hoor ik het nog wel van je! Succes verder!

Peter
vrijdag 3 maart 2006

Re: Re: Re: Re: Integraal irrationale functie

©2001-2024 WisFaq