\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Aantal kleine limietproblemen

Ik heb een aantal kleine limietprobleempjes samengesteld:

1) als je hebt e^-¥ = 0, maar a^-¥ = ?

2) a^+¥ = ?

3) 1/-¥ = 0?

4) lim (e^2/x) = e^2/-¥ = ?
-¥

5) lim (e^2/x) = e^2/+¥ = ?
+¥

6) lim (2x - 1).e^2/x = (-1).e^2/0 = ?
0

7) lim (x^4.e^-x) = +¥.e^-¥ = +¥.0 = 0?
+¥

8) lim (lnx/x) = -¥/0 = ?
0

9) lim ln[(1+x)/(1-x)] = ln(0/2) ?
-1

10) lim [(1+x)/(1-x)] = (0/2) ?
-1

hans
3de graad ASO - zaterdag 6 december 2003

Antwoord

1 en 2)Een exponentiële functie is een functie
a.:®:x®ax
met aÎ+/{0,1}
Bij de exponentiële functie moet je onderscheid maken tussen een grondtal groter dan 1 en kleiner dan 1.
Teken eens de grafiek van twee dergelijke exponentiële functies (vb a=1/2 en a=2 of a=e) en je vindt onmiddellijk het antwoord op je vraag.

3) 1¥ is een onbepaaldheid en bijgevolg kan de uitkomst om het even wat zijn.
Kijk maar naar de limiet voor x naar +¥ van (1+1/x)^x.
Deze limiet is gelijk aan het getal e.

Deze onbepaaldheid krijg je als er een onbekende zowel in je grondtal als in de exponent staat. Dus f(x)g(x).
Ofwel herken je in je uitdrukking bovenstaande limiet ofwel bestaat er een truukje.
Een truukje hier is overgaan op f(x)g(x)=exp(g(x)*ln(f(x))) (waarbij exp(x)=ex).
Dan bereken je de limiet van g(x)*ln(f(x)) (meestal met regel van l'Hopital) en dan deze uitkomst als exponent van e.
Vb. limx®2(x-1)1/(x2-2x)= exp(limx®2 ln(x-1)/x2-2x)

Tussenberekening mbv regel van l'Hopital:
limx®2 ln(x-1)/x2-2x= limx®2 1/((x-1)(2x-2)) = 1/2

Dus limx®2(x-1)1/(x2-2x)=e1/2.

4 en 5) Bekijk eens volgende breuken:
1/10 = 0.1 en 1/(-10)=-0.1
1/100 = 0.01 en 1/(-100)=-0.01
1/1000 = 0.001 en 1/(-1000) = -0.001
1/1000000000000000 = 0.000000000000001 en 1/(-1000000000000000) = -0.000000000000001
Dus: hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk
Ûlimx®¥1/x=0
en ook limx®¥e1/x=e0=1

6) limx®0 (2x - 1).e^2/x = (-1).e^2/0 = ?
Hier moet je onderscheid maken tussen linker- en rechterlimiet.
0/0.00001 = 100000 maar 0/(-0.00001) = -100000
Dus hoe kleiner de noemer hoe groter de breuk. Alleen moet je eveneens kijken naar het teken.
Linkerlimiet: limx®0,x0 (2x - 1).e^2/x = (-1).e^2/0 = -e^(-¥)=0
Rechterlimiet: limx®0,x0 (2x - 1).e^2/x = (-1).e^2/0 = -e^(+¥)=+¥

7) limx®+¥(x^4.e^-x) = +¥.e^-¥ = +¥.0 = limx®+¥x^4/e^x=+¥/+¥
en nu regel van l'Hopital.

8)Linkerlimiet: limx®0,x0 (lnx).(1/x) = -¥.(-¥) = +¥
Rechterlimiet: limx®0,x0 (lnx).(1/x) = -¥.(+¥) = -¥

9 en 10)
limx®-1 [(1+x)/(1-x)] = (0/2)=0 (niets verdelen onder 2 personen dan krijg je elk niets, ja toch)
limx®-1,-1x ln[(1+x)/(1-x)] = ln(0/2)=ln(+0)=-¥
Merk op in deze laatste limiet is de linkerlimiet niet gedefinieerd omdat de functie zelf pas gedefinieerd is in xÎ[-1,1]

Mvg,



Els
zaterdag 6 december 2003

©2001-2024 WisFaq