WisFaq!

Aantal kleine limietproblemen

Ik heb een aantal kleine limietprobleempjes samengesteld:

1) als je hebt e^-¥ = 0, maar a^-¥ = ?

2) a^+¥ = ?

3) 1/-¥ = 0?

4) lim (e^2/x) = e^2/-¥ = ?
-¥

5) lim (e^2/x) = e^2/+¥ = ?
+¥

6) lim (2x - 1).e^2/x = (-1).e^2/0 = ?
0

7) lim (x^4.e^-x) = +¥.e^-¥ = +¥.0 = 0?
+¥

8) lim (lnx/x) = -¥/0 = ?
0

9) lim ln[(1+x)/(1-x)] = ln(0/2) ?
-1

10) lim [(1+x)/(1-x)] = (0/2) ?
-1

hans
6-12-2003

Antwoord

1 en 2)Een exponentiële functie is een functie
a^.:®:x®a^x
met aÎ⁺/{0,1}
Bij de exponentiële functie moet je onderscheid maken tussen een grondtal groter dan 1 en kleiner dan 1.
Teken eens de grafiek van twee dergelijke exponentiële functies (vb a=1/2 en a=2 of a=e) en je vindt onmiddellijk het antwoord op je vraag.

3) 1^¥ is een onbepaaldheid en bijgevolg kan de uitkomst om het even wat zijn.
Kijk maar naar de limiet voor x naar +¥ van (1+1/x)^x.
Deze limiet is gelijk aan het getal e.

Deze onbepaaldheid krijg je als er een onbekende zowel in je grondtal als in de exponent staat. Dus f(x)^g(x).
Ofwel herken je in je uitdrukking bovenstaande limiet ofwel bestaat er een truukje.
Een truukje hier is overgaan op f(x)^g(x)=exp(g(x)*ln(f(x))) (waarbij exp(x)=e^x).
Dan bereken je de limiet van g(x)*ln(f(x)) (meestal met regel van l'Hopital) en dan deze uitkomst als exponent van e.
Vb. lim_x®2(x-1)^1/(x2-2x)= exp(lim_x®2 ^ln(x-1)/_x²-2x)

Tussenberekening mbv regel van l'Hopital:
lim_x®2 ^ln(x-1)/_x²-2x= lim_x®2 1/((x-1)(2x-2)) = 1/2

Dus lim_x®2(x-1)^1/(x2-2x)=e^1/2.

4 en 5) Bekijk eens volgende breuken:
1/10 = 0.1 en 1/(-10)=-0.1
1/100 = 0.01 en 1/(-100)=-0.01
1/1000 = 0.001 en 1/(-1000) = -0.001
1/1000000000000000 = 0.000000000000001 en 1/(-1000000000000000) = -0.000000000000001
Dus: hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk
Ûlim_x®¥1/x=0
en ook lim_x®¥e^1/x=e⁰=1

6) lim_x®0 (2x - 1).e^2/x = (-1).e^2/0 = ?
Hier moet je onderscheid maken tussen linker- en rechterlimiet.
0/0.00001 = 100000 maar 0/(-0.00001) = -100000
Dus hoe kleiner de noemer hoe groter de breuk. Alleen moet je eveneens kijken naar het teken.
Linkerlimiet: lim_x®0,x0 (2x - 1).e^2/x = (-1).e^2/0 = -e^(-¥)=0
Rechterlimiet: lim_x®0,x0 (2x - 1).e^2/x = (-1).e^2/0 = -e^(+¥)=+¥

7) lim_x®+¥(x^4.e^-x) = +¥.e^-¥ = +¥.0 = lim_x®+¥^{x^4}/_e^x=^+¥/_+¥
en nu regel van l'Hopital.

8)Linkerlimiet: lim_x®0,x0 (lnx).(1/x) = -¥.(-¥) = +¥
Rechterlimiet: lim_x®0,x0 (lnx).(1/x) = -¥.(+¥) = -¥

9 en 10)
lim_x®-1 [(1+x)/(1-x)] = (0/2)=0 (niets verdelen onder 2 personen dan krijg je elk niets, ja toch)
lim_x®-1,-1x ln[(1+x)/(1-x)] = ln(0/2)=ln(+0)=-¥
Merk op in deze laatste limiet is de linkerlimiet niet gedefinieerd omdat de functie zelf pas gedefinieerd is in xÎ[-1,1]

Mvg,

Els
6-12-2003