\require{AMSmath}

Gebroken machten en wortels

Hallo,

Ik heb een aantal vragen over de rekenregel:
√(a·b)=√a·√b

Voorbeeld:
√(54)=√(9·6)=√9·√=3√6

Voorbeeld:

√³√5·6
=((5·6)^1.3)^1/2
=(5·6)^1/6
=5^1/6·6<sup>1/6

3</sup>√5·6 staat hierbij onder de eerste wortel.
Vraag 1
Mag je dit dan schrijven als 30^2/6
??

Vraag 2
En als ⁶√(30²)
??

Ik weet bij het vermenigvuldigen van machten dat het Grondtal gelijk blijft en tel je de exponenten op.
2³·2⁵=2⁸

Maar toch, is het dan 5·6=30 ??

Vraag 3
Zo ook bij:
√11·³√11
Ook hier staat ³√11 onder √11

√11·³√11
=√11·11^1/3
=11^1/2·(11^1/3)^1/2
=11^1/2·11^1/6
=11^3/6·11^1/6
=11^4/6
=11^2/3

Mijn vraag gaat over dit gedeelte:
=√11·11^1/3
11·11^1/3 staat in zijn geheel onder de wortel

=√11·11^1/3
=√11·√11^1/3

Waarom vermenigvuldig je niet 11·11=121^1/3?

Is eigenlijk hetzelfde als bij vraag 1, waaqrom vermenigvuldig je de wortels niet.? De 5 en 6 omdat ze niet gelijksoortig zijn (a·b)?
a⁶·a³=a⁹
2³·2⁵=2⁸

a⁶·b³=a⁶b³
5^1/6·6^1/6=5^1/6·6^1/6

Welke regel gaat nou op??

Groet Kees

Kees
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 6 februari 2017

Antwoord

Vraag 1 en 2: nee. Noem $5^{\frac16}$ even $a$ en $6^{\frac16}$ even $b$. Dan weet je dat $a^6=5$ en $b^6=6$ en dan volgt $(ab)^6=abababababab=aaaaaabbbbbb=a^6\cdot b^6=5\cdot6=30$, en dus is $ab$ gelijk aan $30^{\frac16}$. (De zesde macht van $30^{\frac26}$ is gelijk aan $30^2$ en dat is $900$.)
Bij vraag 3: Je eerste berekening is goed $11\cdot11^{\frac13}=11^{\frac43}$ en dan worteltrekken geeft $11^{\frac23}$.
Wat hier aan de hand is is dat er allerlei haakjes weggelaten zijn. Je moest bij je vragen telkens zeggen wat nog onder het wortelteken hoorde; dat had niet gehoeven als je overal haakjes had ingevoegd: $\sqrt{}\bigl(\sqrt[3]{}(5\cdot 6)\bigr)$ (in $\sqrt{\sqrt[3]{5\cdot 6}}$ werken de strepen boven de uitdrukking als haakjes) en $\sqrt{}\bigl(11\cdot\sqrt[3]{}(11)\bigr)$ (of $\sqrt{11\cdot\sqrt[3]{11}}$ met streepjes).

Nu kun je ook zien dat het in de eerste uitdrukking om $30^{\frac16}$ gaat: $\sqrt[3]{5\cdot6}$ is hetzelfde als $\sqrt[3]{30}$.
En bij de tweede uitdrukking staat $11\cdot\sqrt[3]{11}$, dus de $\frac13$ in $11\cdot11^{\frac13}$ hoort alléén bij de tweede $11$.

kphart
maandag 6 februari 2017

Re: Gebroken machten en wortels

©2001-2024 WisFaq